Question

正方形ABCD的邊AB是⊙O的弦，CF切⊙O于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且切點(diǎn)E在正方形的內(nèi)部，AE，BE的長(zhǎng)是方程x²-3x+m=0兩個(gè)實(shí)根．
（1）當(dāng)AB是⊙O的直徑時(shí)（如圖），
①用含m的代數(shù)式表示AB的長(zhǎng)；
②求m的值和AF的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)AB不是⊙O的直徑時(shí)，△ABE能否與以B、C、E為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說(shuō)明理由，若相似，求AE+AB的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）①根據(jù)題意，有AE，BE的長(zhǎng)是方程x²-3x+m=0兩個(gè)實(shí)根，
則AE+BE=3，AE•BE=m；
又有AB是⊙O的直徑，可得AB²=AE²+BE²，
化簡(jiǎn)可得：AB²=（AE+BE）²-2AE•BE=9-2m，
故AB=；
②連接OC、OF，分別交BE、AE于M、N，連接OE；
∵CE、CB都是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠ECO=∠BCO，∠OEC=∠OBC=90°，
∴∠EOC=∠BOC，
∴OM垂直平分BE，即OM⊥BE、EM=BM，
又∵O是AB的中點(diǎn)，∴OM是△ABE的中位線(xiàn)，即AE=2OM；
△ABE和△BMC中：
AB=BC，∠AEB=∠BMC=90°，∠CBM=∠EAB（弦切角定理），
∴△AEB≌△BMC，即MC=BE=2BM=4OM；
設(shè)OM=x，則AE=BM=2x，BE=MC=4x，
∵AE+BE=3，即2x+4x=3，故x=，
∴AE=1，BE=2，m=AE•E=2，AB=；
同理可證得ON是△ABE的中位線(xiàn)，則ON∥BE，∠AOF=∠ABE，
∴tan∠AOF=tan∠ABE=，即AF=OA=AB=．

（2）由于CF切⊙O于E，則∠CEB=∠EAB；
∵點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部，
∴AE、BC不平行，即∠AEB≠∠CBE；
若△ABE能否與以B、C、E為頂點(diǎn)的三角形相似，
則必有∠AEB=∠ECB，此時(shí)：
，即BE²=AB²，BE=AB；
所以△ABE可以與以B、C、E為頂點(diǎn)的三角形相似，此時(shí)BE等于正方形的邊長(zhǎng)；
那么AE+AB=AE+BE=3．
分析：（1）①根據(jù)圓周角定理知∠AEB=90°，則△ABE是直角三角形，利用韋達(dá)定理及勾股定理即可得到AB的表達(dá)式；
②連接OC，交BE于M，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知∠ECO=∠BCO，即∠EOC=∠BOC，那么由垂徑定理即可得到OC垂直平分BE；由于A(yíng)B=BC，易證得△BMC≌△AEB，則BE=CM=2BM，由此可得到BM、OM、MC的比例關(guān)系式，由于OM=AE（三角形中位線(xiàn)定理），根據(jù)AE+BE的值，即可求得OM、MC的長(zhǎng)，從而得到AE、BE的值，也就能求出m的值和AB的長(zhǎng)；
連接OF，交AE于N，同上可證得OF垂直平分AE，則ON是△ABE的中位線(xiàn)，那么∠AOF和∠ABE的正切值相等，已知了OA的長(zhǎng)，即可得到AF的長(zhǎng)．
（2）由于CE切⊙O于E，由弦切角定理知∠CEB=∠EAB，由于E在正方形內(nèi)部，即AE不與BC平行，所以∠AEB與∠EBC不相等，若兩三角形相似，只有∠AEB=∠ECB，可得BE²=AB•BC=AB²，即BE與正方形的邊長(zhǎng)相等，因此兩個(gè)三角形有可能相似，且此時(shí)AE+AB=AE+BE=3．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、切線(xiàn)的性質(zhì)、弦切角定理、垂徑定理、三角形中位線(xiàn)定理以及全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，理清圖中線(xiàn)段、角之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．