Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3

3

，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P作直線PQ∥BD，交CD邊于Q點(diǎn)，再把△PQC沿著動(dòng)直線PQ對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)，設(shè)CP的長度為x，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y．
（1）求∠CPQ的度數(shù)；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)R落在矩形ABCD的AB邊上？
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）①當(dāng)x取何值時(shí)，重疊部分的面積最大，并求出這個(gè)最大值；②當(dāng)x取何值時(shí)，重疊部分的面積等于矩形面積的

7

27

？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)推出AB=CD，AD=BC，根據(jù)解直角三角形求出∠CDB=30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)和數(shù)據(jù)線的內(nèi)角和定理求出即可；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知△RPQ≌△CPQ，推出∠RPQ=∠CPQ，RP=CP，在△RPB中得出2（3

3

-x）=x，求出即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)R在矩形ABCD的內(nèi)部或AB邊上時(shí)，求出S_△CPQ的值，推出當(dāng)0＜x≤2

3

時(shí)，y=

3

2

x²，當(dāng)R在矩形ABCD的外部，求出PF=2BP=2（3

3

-x），求出RF\ER=

3

x-6，進(jìn)一步求出S_△ERF即可；
（4）①當(dāng)0＜x≤2

3

時(shí)，求出y的最大值，當(dāng)2

3

＜x＜3

3

時(shí)，求出在x=

18

2 3

時(shí)，y最大值=9

3

，②矩形面積=9×3

3

=27

3

，根據(jù)計(jì)算求出當(dāng)0＜x＜2

3

時(shí)，y的值不可能是矩形面積的

7

27

；當(dāng)2

3

＜x＜3

3

時(shí)，根據(jù)題意得出方程-

3

x²+18x-18

3

=7

3

，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=9，AD=3

3

，∠C=90°，
∴CD=9，BC=3

3

，
∴tan∠CDB=

BC

CD

=

3

3

，∴∠CDB=30°，
∵PQ∥BD，
∴∠CQP=∠CDB=30°，
∴∠CPQ=90°-∠CQP=60°，
答：∠CPQ的度數(shù)是60°．

（2）解：如圖1，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP，
由（1）知：∠CQP=30°，∴∠RPQ=∠CPQ=60°，
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP，
∵CP=x，
∴PR=x，PB=3

3

-x，
在△RPB中，根據(jù)題意得：2（3

3

-x）=x，
解這個(gè)方程得：x=2

3

，
答：當(dāng)x取2

3

時(shí)，點(diǎn)R落在矩形ABCD的AB邊上．

（3）解：當(dāng)點(diǎn)R在矩形ABCD的內(nèi)部或AB邊上時(shí)，
如圖1：FE的范圍是0＜x≤2

3

，
S_△CPQ=

1

2

×CP×CQ=

1

2

x×

3

x=

3

2

x²，
∵△RPQ≌△CPQ，
∴當(dāng)0＜x≤2

3

時(shí)，y=

3

2

x²，
當(dāng)R在矩形ABCD的外部時(shí)（如圖2），2

3

＜x＜3

3

，
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（3

3

-x），
∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-6

3

，
在Rt△ERF中，
∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=

3

x-6，
∴S_△ERF=

1

2

×ER×FR=

3 3

2

x²-18x+18

3

，
∵y=S_△RPQ-S_△ERF，
∴當(dāng)2

3

＜x＜3

3

時(shí)，y=-

3

x²+18x-18

3

，
答：y與x之間的函數(shù)解析式是：y=

3 2 x2(0＜x≤ 2 3 )  - 3  x2+18x-18 3 (2 3 ＜ x＜3 3 )

．

（4）解：①當(dāng)0＜x≤2

3

時(shí)，函數(shù)y=

3

2

x²隨自變量的增大而增大，
∴y的最大值是6

3

，
當(dāng)2

3

＜x＜3

3

時(shí)，y=-

3

x²+18x-18

3

=7

3

，
∵-

3

＜0，
∴在x=

18

2 3

=3

3

時(shí)，y的最大值=

4 3 ×18 3 -182

-4 3

=9

3

，
∴當(dāng)2

3

＜x＜3

3

時(shí)，y沒有最大值．
②矩形面積=9×3

3

=27

3

，
當(dāng)0＜x≤2

3

時(shí)，y的最大值是6

3

，
而矩形面積的

7

27

的值=

7

27

×27

3

=7

3

，
而7

3

＞6

3

，
∴當(dāng)0＜x＜2

3

時(shí)，y的值不可能是矩形面積的

7

27

；
當(dāng)2

3

＜x＜3

3

時(shí)，根據(jù)題意，得：-

3

x²+18x-18

3

=7

3

，
解這個(gè)方程，得x=3

3

±

2

，
∵3

3

+

2

＞3

3

，
∴x=3

3

+

2

不合題意，舍去，
∴x=3

3

-

2

，
答：當(dāng)x=3

3

-

2

時(shí)，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積等于矩形面積的

7

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，解一元二次方程，翻折變換，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．