Question

【題目】已知，如圖，直線y=x4與x軸，y軸分別交于B、A，將該直線繞A點順時針旋轉(zhuǎn)α，且tanα=，旋轉(zhuǎn)后與x軸交于C點．

（1）求A、B、C的坐標(biāo)；

（2）在x軸上找一點P，使有一動點能在最短的時間內(nèi)從點A出發(fā)，沿著A-P-C的 運(yùn)動到達(dá)C點，并且在AP上以每秒2個單位的速度移動，在PC上以每秒個單位移動，試用尺規(guī)作圖找到P點的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），并求出所用的最短時間t.

Answer 1

【答案】（1）A(0，4)，B（8，0），C(18，0) ；

（2）作圖見解析，t=

【解析】試題分析：（1）過B作BD⊥AB交AC于D，過D作DE⊥x軸于E，則△AOB∽△BED，得到==，求出點D坐標(biāo)，求出AC的解析式即可求出點C坐標(biāo)．

（2）過點（0，4）作AC的垂線垂足為Q，該垂線與x軸的交點即為P點．設(shè)點F（0，4），則A、F關(guān)于x軸對稱，所以AP=FP，首先證明t=，由此推出點P就是所求的點，此時動點能在最短的時間內(nèi)從點A出發(fā)，沿著A-P-C的運(yùn)動到達(dá)C點，求出FQ的長即可解決問題．

試題解析：(1)∵直線y=x4與x軸，y軸分別交于B、A，

∴A(0，4)，B(8，0)，

過B作BD⊥AB交AC于D，過D作DE⊥x軸于E，

則△AOB∽△BED

∴==，

∵OA=4，OB=8，∠BAD=α，tanα==，

∴BE=1，DE=2

∴D(9，2)

∴直線AC解析式為y=x4

∴C(18，0).

(2)過點(0，4)作AC的垂線垂足為Q，該垂線與x軸的交點即為P點。

設(shè)點F(0，4)，則A.F關(guān)于x軸對稱，所以AP=FP，

S△ACF=AFOC=ACFQ，AF=8，OC=18，AC= ==，

∴FQ=，

∵△CQP∽△COA，

∴，

∴，

∴，

∴t= =，

∵FQ是垂線段，

∴點P就是所求的點，此時動點能在最短的時間內(nèi)從點A出發(fā)，沿著APC的運(yùn)動到達(dá)C點，

∴t=