2.如圖,已知點(diǎn)A(1,$\sqrt{3}$)在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$(x>0)的圖象上,連接OA,將線段OA繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°,得到線段OB.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)填空:
①點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,$\sqrt{3}$);
②判斷點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)的圖象上?答點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上;
③設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b,則不等式ax+b-$\frac{k}{x}$<0的解集是0<x<1或x>$\sqrt{3}$.

分析 (1)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求得k,可求得其解析式;
(2)①由A點(diǎn)坐標(biāo)可求得OA,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可求得OB,由A點(diǎn)坐標(biāo)可求得OA與x軸的夾角,則可求得OB與x軸的夾角,可求得B點(diǎn)坐標(biāo);②把B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式進(jìn)行判斷即可;③結(jié)合圖象可知不等式的解集即為直線AB在反比例函數(shù)圖象下方時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值范圍,可求得答案.

解答 解:
(1)∵點(diǎn)A(1,$\sqrt{3}$)在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$(x>0)的圖象上,
∴$\sqrt{3}$=$\frac{k}{1}$,解得k=$\sqrt{3}$,
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$(x>0);
(2)①如圖,過(guò)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,過(guò)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D,

∵A(1,$\sqrt{3}$),
∴OC=1,AC=$\sqrt{3}$,
∴tan∠AOC=$\frac{AC}{OC}$=$\sqrt{3}$,OA=2,
∴∠AOC=60°,
∵將線段OA繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°,得到線段OB,
∴OB=2,∠BOD=30°,
∴BD=$\frac{1}{2}$OB=1,OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=$\sqrt{3}$,
∴B(1,$\sqrt{3}$),
故答案為:(1,$\sqrt{3}$);
②∵$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$,
∴點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上,
故答案為:點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上;
③∵ax+b-$\frac{k}{x}$<0可化為ax+b<$\frac{k}{x}$,
∴不等式的解集為直線AB在反比例函數(shù)圖象的下方,
∴0<x<1或x>$\sqrt{3}$,
故答案為:0<x<1或x>$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及數(shù)形結(jié)合思想.在(1)中注意函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式,在(2)中求得B點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng),難度適中.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

12.在一個(gè)袋子中裝有大小相同的4個(gè)小球,其中1個(gè)藍(lán)色,3個(gè)紅色.
(1)從袋中隨機(jī)摸出1個(gè),求摸到的是藍(lán)色小球的概率;
(2)從袋中隨機(jī)摸出2個(gè),用列表法或樹(shù)狀圖法求摸到的都是紅色小球的概率;
(3)在這個(gè)袋中加入x個(gè)紅色小球,進(jìn)行如下試驗(yàn):隨機(jī)摸出1個(gè),然后放回,多次重復(fù)這個(gè)試驗(yàn),通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn),摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定在0.9,則可以推算出x的值大約是多少?

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13.已知關(guān)于x的方程$\frac{3x-4}{(x-1)(x-2)}$=$\frac{A}{x-1}$+$\frac{B}{x-2}$,求A、B的值.

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10.解方程:
(1)2x=3x-5
(2)$\frac{x-1}{3}$-1=$\frac{3x-1}{2}$.

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17.已知關(guān)于x的一元二次方程(a-5)x2-4x-1=0.
(1)若該方程有實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.
(2)若該方程一個(gè)根為-1,求方程的另一個(gè)根.

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7.計(jì)算下列各題.
(1)($\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$)×$\sqrt{18}$+3$\sqrt{\frac{1}{3}}$
(2)$\frac{\sqrt{40}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$-$\sqrt{24}$×$\sqrt{\frac{1}{2}}$.

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14.(1)解方程:$\frac{x-1}{3}$=1-$\frac{3x+2}{5}$
(2)先化簡(jiǎn),再求值:$\frac{1}{3}$(9ab2-3)+(7a2b-2)+2(ab2+1)-2a2b,其中a、b滿足(a+2)2+|b-3|=0.

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11.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=6,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0<α≤180°),記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P.

(1)如圖1,當(dāng)α=90°時(shí),線段BD1的長(zhǎng)等于3$\sqrt{5}$,線段CE1的長(zhǎng)等于3$\sqrt{5}$;(直接填寫(xiě)結(jié)果)
(2)如圖2,當(dāng)α=135°時(shí),求證:BD1=CE1,且BD1⊥CE1;
(3)①設(shè)BC的中點(diǎn)為M,則線段PM的長(zhǎng)為3$\sqrt{2}$;
②點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$.(直接填寫(xiě)結(jié)果)

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12.小明同學(xué)解一元二次方程x2-4x-1=0的過(guò)程如圖所示
解:x2-4x=1…①
x2-4x+4=1 …②
(x-2)2=1…③
x-2=±1…④
x1=3,x2=1…⑤
(1)小明解方程的方法是配方法,他的求解過(guò)程從第②步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤,這一步的運(yùn)算依據(jù)應(yīng)該是等式的基本性質(zhì);
(2)解這個(gè)方程.

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