已知:OE是⊙E的半徑,以O(shè)E為直徑的⊙D與⊙E的弦OA相交于點(diǎn)B,在如圖所示的直角坐標(biāo)系中,⊙E交y軸于點(diǎn)C,連接BE、AC.
(1)當(dāng)點(diǎn)A在第一象限⊙E上移動(dòng)時(shí),寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論:______(至少寫出四種不同類型的結(jié)論);
(2)若線段BE、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-(m+1)x+m=0的兩根,且OB<BE,OE=2,求以E點(diǎn)為頂點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的拋物線的解析式;
(3)該拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PBE是以BE為直角邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明其理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)圓周角定理可得出∠OBE=∠A,那么BE∥AC,△OBE∽△OAC…本題的答案不唯一,只要正確都可以.
(2)已知了OE=2,根據(jù)勾股定理可得出OB2+BE2=(BO+BE)2-2OB•BE=4,然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出m的值,也就能求出OB,BE的長(zhǎng),過(guò)B作y軸的垂線,根據(jù)三角形面積的不同表示方法即可求出B點(diǎn)的縱坐標(biāo),進(jìn)而可求出其橫坐標(biāo).然后根據(jù)E,B點(diǎn)的坐標(biāo),用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)拋物線的解析式,然后將B點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出以E為頂點(diǎn)過(guò)B點(diǎn)的拋物線的解析式.
(3)本題要分情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)∠PBE=90°時(shí),那么P點(diǎn)必為直線OB與拋物線的交點(diǎn),因此可先求出直線OB的解析式然后聯(lián)立拋物線的解析式求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
②當(dāng)∠BEP=90°時(shí),設(shè)直線EP與圓D交于G點(diǎn),那么四邊形EGOB是個(gè)矩形,然后參照求B點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)的方法求出G點(diǎn)的坐標(biāo),再按①的步驟進(jìn)行求解即可.
解答:解:(1)AC∥BE;AC⊥OA,BE⊥OB,∠OAC=90°;OB=AB,OE=CE;
BE=AC,OA=2OB;∠BEO=∠ACO,∠CAO=∠EBO;=
OB2+BE2=OE2,OA2+AC2=OC2;的度數(shù)=的度數(shù).

(2)∵BE、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-(m+1)x+m=0的兩根.
,
又∵OE是⊙D直徑,且OE=2,
∴∠OBE=90°.
∴OB2+BE2=OE2=4.
即(OB+BE)2-2OB•BE=4.
∴(m+1)2-2m=4,
解之,得m=±
∵BE•OB=m>0
∴m=
將m=代入原方程,得x2-(+1)x+=0
解之,得x1=,x2=1,
∵OB<BE
∴OB=1,BE=
過(guò)B作BF⊥x軸于F,則∠BOF=90°-∠BOE=∠OEB=30度.
∴BF=OB=,OF=.即B().
∵拋物線頂點(diǎn)為E(0,2)
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+2.
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入,得a=-2.
所求拋物線解析式為y=-2x2+2.

(3)拋物線上存在點(diǎn)P,使得△PBE是以BE為直角邊的直角三角形.
①當(dāng)∠PBE=90°時(shí),點(diǎn)P必須在BO的延長(zhǎng)線上,
設(shè)直線OB的解析式為y=kx.

∴k=,y=x.
解方程組

(即為B點(diǎn),舍去)
②當(dāng)∠PEB為直角時(shí),延長(zhǎng)EP交⊙D于G,連接BG、OG,則BG為⊙D直徑,
四邊形OBEG為⊙D內(nèi)接矩形.
∴OG=BE=.∠GOE=∠BEO=30°.
過(guò)G作GH⊥y軸于H,則GH=,OG=,OH=.G(-,).
可求得直線EG的解析式為y=x+2.
解方程組
(即為E點(diǎn),舍去)
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,-)或(-,).
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓周角定理、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力.
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已知:如圖,點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-4),點(diǎn)B為x軸上一動(dòng)點(diǎn),以線段AB為邊作正方形ABCD(按逆時(shí)針?lè)较驑?biāo)記),正方形ABCD隨著點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)而隨之相應(yīng)變動(dòng).點(diǎn)E為y軸的正半軸與正方形A精英家教網(wǎng)BCD某一邊的交點(diǎn),設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t,0),線段OE的長(zhǎng)度為m.
(1)當(dāng)t=3時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)t>0時(shí),求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在t,使點(diǎn)M(-2,2)落在正方形ABCD的邊上?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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如圖,已知正方形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,OA=AB=2,拋物線y=-
23
x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,交正x軸于點(diǎn)D,E是OC上的動(dòng)點(diǎn)(不與C重合)連接EB,過(guò)B點(diǎn)作BF⊥BE交y軸與F
(1)求b,c的值及D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求點(diǎn)E在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形OEBF的面積有怎樣的規(guī)律性?并證明你的結(jié)論;
(3)連接EF,BD,設(shè)OE=m,△BEF與△BED的面積之差為S,問(wèn):當(dāng)m為何值時(shí)S最小,并求出這個(gè)最小值.

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(1997•北京)已知:如圖,把矩形紙片OABC放入直角坐標(biāo)系xOy中,使OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上,連接AC,將△ABC沿AC翻折,點(diǎn)B落在該坐標(biāo)平面內(nèi),設(shè)這個(gè)落點(diǎn)為D,CD交x軸于點(diǎn)E.如果CE=5,OC、OE的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2+(m-1)x+12=0的兩個(gè)根,并且OC>OE.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如果點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),判斷點(diǎn)(8,-20)是否在過(guò)D、F兩點(diǎn)的直線上,并說(shuō)明現(xiàn)由.

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如圖1,已知直線y=-
1
2
x+m與反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),分別與x、y軸交于點(diǎn)C、D,AE⊥x軸于E.
(1)若OE•CE=12,求k的值.
(2)如圖2,作BF⊥y軸于F,求證:EF∥CD.
(3)在(1)(2)的條件下,EF=
5
,AB=2
5
,P是x軸正半軸上的一點(diǎn),且△PAB是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,求P點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:三點(diǎn)一測(cè)叢書九年級(jí)數(shù)學(xué)上 題型:044

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(1)當(dāng)點(diǎn)D、E不重合時(shí),如圖(1),求證OE∥CD;

(2)當(dāng)點(diǎn)C是弦AB的中點(diǎn)時(shí),如圖(2),求PD的長(zhǎng);

(3)當(dāng)點(diǎn)D、E重合時(shí),請(qǐng)你推斷∠PAB的大小為多少度(只需給出結(jié)論,不必給出證明).

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