Question

已知⊙O中，=．
（1）如圖1，求證：CO⊥AE；
（2）如圖2，CD⊥直徑AB于D，若BD=1，AE=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：延長CO交AE于點D，
∵=，CD過圓心，
∴CO⊥AE；

（2）設⊙O的半徑為r，連接CO并延長交AE于點F，
∵=，CD過圓心，AE=4，
∴OF⊥AE，
∴AF=AE=×4=2，
∵CD⊥AB，∠AOF=∠COD，
∴在△OAF與△OCD中，
∵，
∴△OAF≌△OCD，
∴OF=OD=r-1，
∴在Rt△AOF中，OA²=AF²+OF²，即r²=2²+（r-1）²，解得r=．
分析：（1）延長CO交AE于點D，再由垂徑定理即可得出結論；
（2）連接CO并延長交AE于點F，由垂徑定理可知OF⊥AE，根據全等三角形的判定定理得出△OAF≌△OCD，故可得出OF的長，根據勾股定理即可求出OA的長．
點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．