Question

（2013•竹溪縣模擬）如圖1，已知雙曲線y=

k

x

與直線y=

1

2

x交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．

（1）求k的值；
（2）若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；
（3）如圖2，過原點(diǎn)的另一條直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，若由點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將x=4代入一次函數(shù)解析式求出y的值，確定出A的坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）將C縱坐標(biāo)代入反比例解析式求出橫坐標(biāo)，確定出C坐標(biāo)，即CD與OD的長，三角形AAOC面積=三角形COD面積+梯形AEDC面積-三角形AOE面積，求出即可；
（3）設(shè)P（x，

8

x

），即OM=x，PM=

8

x

，分四種情況考慮：若P在A的左側(cè)，如圖所示，作PM⊥x軸，AN⊥x軸，由四邊形APBQ面積為24，且為平行四邊形，得到三角形AOP面積為6，根據(jù)三角形POM面積+梯形ANMP面積-三角形AON面積，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)；若交點(diǎn)P在第三象限，Q在第一象限，利用對(duì)稱性求出P坐標(biāo)即可；若P在A的右側(cè)，同理可得P的坐標(biāo)；若交點(diǎn)P在第三象限，Q在第一象限，利用對(duì)稱性求出P的坐標(biāo)．

解答：
解：（1）將x=4代入y=

1

2

x=2，即A（4，2），
將A（4，2）代入反比例解析式得：k=8；

（2）過C作CD⊥x軸，作AE⊥x軸，
將y=8代入反比例解析式得：x=1，即C（1，8），
∴OD=1，CD=8，
∵A（4，2），∴OE=4，AE=2，
∵S_△AOC=S_△COD+S_梯形AEDC-S_△AOE=

1

2

×1×8+

1

2

×（2+8）×3-

1

2

×4×2=15；

（3）設(shè)P（x，

8

x

），即OM=x，PM=

8

x

，
若P在A的左側(cè)，如圖所示，作PM⊥x軸，AN⊥x軸，
∵由點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形面積為24，OP=OQ，OA=OB，即四邊形APBQ為平行四邊形，
∴S_△AOP=S_△POM+S_梯形ANMP-S_△AON=

1

4

×24=6，即

1

2

x•

8

x

+

1

2

×（4-x）×（2+

8

x

）-4=6，
解得：x=2，即P（2，4）；
若交點(diǎn)P在第三象限，Q在第一象限，此時(shí)P（-2，-4）；
若P在A的右側(cè)，同理可得4+

1

2

×（x-4）×（2+

8

x

）-4=6，
解得：x=8，此時(shí)P坐標(biāo)為（8，1）；
若交點(diǎn)P在第三象限，Q在第一象限，此時(shí)P坐標(biāo)為（-8，-1），
綜上，P坐標(biāo)為（2，4）或（-2，-4）或（8，1）或（-8，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形、梯形的面積，以及待定系數(shù)法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．