(2013•河池)如圖,正方形ABCD的邊長為4,E、F分別是BC、CD上的兩個動點,且AE⊥EF.則AF的最小值是
5
5
分析:設(shè)BE=x,則EC=4-x,先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC,則可判斷Rt△ABE∽Rt△ECF,利用相似比可表示出FC=
x(4-x)
4
,則DF=4-FC=4-
x(4-x)
4
=
1
4
x2-x+4=
1
4
(x-2)2+3,所以x=2時,DF有最小值3,而AF2=AD2+DF2,即DF最小時,AF最小,AF的最小值為
42+32
=5.
解答:解:設(shè)BE=x,則EC=4-x,
∵AE⊥EF,
∴∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠FEC=90°,
而∠AEB+∠BEA=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
∴Rt△ABE∽Rt△ECF,
AB
EC
=
BE
FC
,即
4
4-x
=
x
FC
,解得FC=
x(4-x)
4

∴DF=4-FC=4-
x(4-x)
4
=
1
4
x2-x+4=
1
4
(x-2)2+3
當x=2時,DF有最小值3,
∵AF2=AD2+DF2,
∴AF的最小值為
42+32
=5.
故答案為:5.
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì):有兩組對應(yīng)邊的比相等,并且它們的夾角也相等,那么這兩個三角形相似;相似三角形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等.也考查了正方形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題.
練習(xí)冊系列答案
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