Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+4在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點(diǎn)分別為A（﹣1，0），B，P是其對(duì)稱軸x=1上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，得出以下結(jié)論：

①2a+b=0，

②x=3是方程ax2+bx+4=0的一個(gè)根，

③△PAB周長(zhǎng)的最小值是5+，

④9a+4＜3b．

其中正確的是（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

試題分析：①根據(jù)對(duì)稱軸方程求得a、b的數(shù)量關(guān)系；

②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3；

③利用兩點(diǎn)間直線最短來(lái)求△PAB周長(zhǎng)的最小值；

④根據(jù)圖象知，當(dāng)x=﹣3時(shí)，y＜0，得到9a﹣3b+4＜0，即9a+4＜3b．

解：①根據(jù)圖象知，對(duì)稱軸是直線x=﹣=1，則b=﹣2a，即2a+b=0．

故①正確；

②根據(jù)圖象知，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），對(duì)稱軸是x=1，則根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的性質(zhì)知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一個(gè)根，故②正確；

③如圖所示，點(diǎn)A關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)是A′，即拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．

連接BA′與直線x=1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，

則△PAB周長(zhǎng)的最小值是（BA′+AB）的長(zhǎng)度．

∵A（﹣1，0），B（0，4），A′（3，0），

∴AB=，BA′=5．即△PAB周長(zhǎng)的最小值是5+．

故③正確；

④根據(jù)圖象知，當(dāng)x=﹣3時(shí)，y＜0，

∴9a﹣3b+4＜0，即9a+4＜3b，

故④正確．

綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④．

故選D．