Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（0，1），（

1

m

，

m2+mb-1

m2

）
（1）求a、c的值．
（2）①求證拋物線與x軸恒有兩個(gè)交點(diǎn)．②設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，求線段AB的最小值．
（3）當(dāng)b取何值時(shí)，對(duì)任意的x滿足-1≤x≤2時(shí)，都恒有-8≤y≤

13

4

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點(diǎn)（0，1），（

1

m

，

m2+mb-1

m2

）分別代入函數(shù)解析式，列出方程組，通過(guò)解方程組可以求得a、c的值；
（2）①由關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0，即-x²+bx+1=0的根的判別式的符號(hào)來(lái)證明；
②設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是x₁，x₂，則根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求得AB²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=b²+4，故當(dāng)b=0時(shí)，AB取最小值，AB_最小值=

4

=2；
（3）把二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=-x²+bx+1=-（x-

b

2

）²+

b2

4

+1，求得最大值；需要對(duì)該拋物線的對(duì)稱軸的位置進(jìn)行分類討論：①當(dāng)對(duì)稱軸x=

b

2

≤-1時(shí)；②當(dāng)對(duì)稱軸x=

b

2

≥2時(shí)；當(dāng)對(duì)稱軸-1＜x=

b

2

＜2時(shí)．這三種情況下求b的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，得

c=1 m2+mb-1 m2 = a m2 + 1 m +c

，
解得，

a=-1 c=1

．
所以，a、c的值分別是-1和1；

（2）證明：由（1）知，a、c的值分別是-1和1，則y=-x²+bx+1．
令y=0，則-x²+bx+1=0，
∵△=b²-4×（-1）×1=b²+4＞0，
∴關(guān)于x的一元二次方程-x²+bx+1=0有2個(gè)實(shí)數(shù)根，即拋物線與x軸恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
②設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是x₁，x₂，則
x₁+x₂=b，x₁•x₂=-1，
∴AB²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=b²+4，
∴當(dāng)b=0時(shí)，AB取最小值，AB_最小值=

4

=2，即線段AB的最小值是2；

（3）y=-x²+bx+1=-（x-

b

2

）²+

b2

4

+1．
∵-1＜0，
∴該拋物線有最大值（

b2

4

+1）．
∵當(dāng)x=-1時(shí)，y=-b，
當(dāng)x=2時(shí)，y=2b-3，
∴①當(dāng)對(duì)稱軸x=

b

2

≤-1時(shí)，即b≤-2時(shí)，函數(shù)在-1≤x≤2上，y隨x的增大而減�。畡t
-8≤2b-3≤

13

4

，
解得，-

5

2

≤b≤

25

8

．
∴當(dāng)-

5

2

≤b≤-2時(shí)，
②當(dāng)對(duì)稱軸x=

b

2

≥2時(shí)，即b≥4時(shí)，函數(shù)在-1≤x≤2上，y隨x的增大而增大．則
-8≤-b≤

13

4

，
解得，-

13

4

≤b≤8，
∴當(dāng)4≤b≤8時(shí)，對(duì)任意的x滿足-1≤x≤2時(shí)，都恒有-8≤y≤

13

4

成立；
③當(dāng)對(duì)稱軸-1＜x=

b

2

＜2時(shí)，即-2＜b＜4時(shí)，

b2

4

+1=

13

4

，
解得，b=3或b=-3（不合題意，舍去），
∴當(dāng)b=3時(shí)，對(duì)任意的x滿足-1≤x≤2時(shí)，都恒有-8≤y≤

13

4

成立；
綜上所述，b的取值范圍是-

5

2

≤b≤-2或4≤b≤8或b=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．解題過(guò)程中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，難度較大，需要學(xué)生對(duì)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的、綜合性的掌握與運(yùn)用的能力．