Question

如圖，二次函數的圖象與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C．且OA=2，OC=OB=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）作OD⊥BC于D，與拋物線相交于點E，試在拋物線上確定點P，使得四邊形OBEP為平行四邊形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了OA，OB，OC三條線段的長即可求出A，B，C三點的坐標，可用交點式二次函數通式設拋物線的解析式，然后將C點的坐標代入即可求出拋物線的解析式．
（2）由于OD⊥BC，因此∠DOB=45°，即E點在直線y=x上，由此可求出E點的坐標，如果四邊形PEBO是平行四邊形，那么EP=OB，將E點坐標向左平移3個單位后就應該是P點的坐標，然后將P的坐標代入拋物線的解析式中即可判斷出是否存在這樣的P點．

解答：解：（1）由題意可得A（-2，0），B（3，0），C（0，3）．
設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-3）．
將C點坐標代入后可得：
a（0+2）×（0-3）=3，a=-

1

2

．
因此拋物線的解析式為y=-

1

2

（x+2）（x-3）=-

1

2

x²+

1

2

x+3；

（2）如圖；
存在這樣的P點，且坐標為P（-1，2）
理由：∵OB=OC，∠COB=90°
∴∠CBO=∠OCB=45°
∵OD⊥BC
∴∠COD=∠BOD=45°
因此E為直線y=x與拋物線的交點，
因此有：

y=- 1 2 x2+ 1 2 x+3 y=x

解得：

x=2 y=2

，
即E點的坐標為（2，2）．
若四邊形OBEP是平行四邊形，那么EP=OB且EP∥OB，那么P點的坐標為（-1，2）．
當x=1時，拋物線的值為y=-

1

2

（x+2）（x-3）=-

1

2

×1×（-4）=2
因此P點在拋物線上．
所以存在這樣的P點，且坐標為（-1，2）．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、平行四邊形的判定、函數圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．