Question

9．閱讀理解：如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，若這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”．解決問(wèn)題．
（1）如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖②中畫(huà)出矩形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)；
（2）如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）以CD為直徑畫(huà)弧，取該弧與AB的一個(gè)交點(diǎn)即為所求．
（2）由點(diǎn)E是矩形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可求得∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性質(zhì)可得BE與AB之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 （2）如圖所示：點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)，


（3）結(jié)論：BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB．
理由：如圖③中，

∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，
BE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AB．
∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，
設(shè)AE=BE=a，則EC=2a，
在Rt△EBC中，BC=$\sqrt{E{C}^{2}-E{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴AB：BC=2a：$\sqrt{3}$a=2：$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解強(qiáng)相似點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵，本題的突破點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，屬于中考?jí)狠S題．