Question

如圖△ABC中，∠A=36°，AB=AC，且BD平分∠ABC交AC于點D，若AB=2，則AD=

 

．

Answer 1

考點：黃金分割

專題：計算題

分析：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算出圖中各角的度數(shù)，易得AD=BD=BC，再證明△ABC∽△BCD，根據(jù)相似的性質(zhì)得AC：BC=BC：CD，則AC：AD=AD：CD，然后根據(jù)黃金分割點的定義計算．

解答：解：∵AB=AC=2，
∴∠ABC=∠C=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，
∴∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC=BC：CD，
∴AC：AD=AD：CD，
∴點D為AC的黃金分割點，
∴AD=

5 -1

2

AC=

5 -1

2

×2=

5

-1．
故答案為

5

-1．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．