Question

1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D
（1）若AB=5cm，BC=3cm，求CD的長；
（2）若BD=2，AD=4，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)勾股定理求得直角三角形的另一直角邊，再根據(jù)直角三角形的面積公式求得斜邊上的高CD；
（2）利用等角的余角相等得到∠B=∠ACD，則利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似可判斷△ADC∽△CDB；利用相似比得到$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$，然后利用比例性質(zhì)求CD．

解答 解：（1）在直角三角形ABC中，
AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4（cm），
根據(jù)直角三角形的面積公式，得CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$（cm）
故CD的長為$\frac{12}{5}$cm；
（2）∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠B=90°
∵∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$，即$\frac{4}{CD}$=$\frac{CD}{2}$，
∴CD=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，要熟練運(yùn)用勾股定理以及直角三角形的面積公式，直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．