Question

在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC交AC于D，如圖，CP垂直BD，垂足為P，AQ垂直BP，Q為垂足．M是AC中點(diǎn)，E是BC中點(diǎn)．若△PQM的外接圓O與AC的另一個(gè)交點(diǎn)為H，求證：O、H、E、M四點(diǎn)共圓．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：證明題

分析：延長(zhǎng)AQ交BC于N，由于AQ⊥BP，BD平分∠ABC，根據(jù)等腰三角形三線合一得到BQ平分AN，即AQ=NQ，易得QM為△ANC的中位線，則QM∥BC，所以∠PQM=∠PBC=

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∠ABC，同理得EM∥AB，連結(jié)PE，PE為Rt△BPC斜邊上的中線，所以EB=EP=EC，則∠EBP=∠EPB，而∠EBP=∠ABP，則∠ABP=∠EBP，得到PE∥AB，
于是可判斷點(diǎn)P、M、E共線，則∠MPQ=∠PBC=

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∠ABC，∠MPQ=∠MQP=

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∠ABC；連結(jié)HE，BH，OH，OM，OP，根據(jù)圓周角定理得∠PHM=∠PQM，則∠PHM=∠PBC，根據(jù)四點(diǎn)共圓的判定方法得到P、H、B、C四點(diǎn)共圓，再根據(jù)圓周角定理得∠BHC=∠BPC=90°，利用EH為Rt△BHC斜邊上的中線得EH=EC=BE，所以EH=EP，則∠EHP=∠EPH，利用∠OHP=∠OPH得到∠EHO=∠EPO，而∠OPM=∠OMP，所以∠EHO=∠OMP，原式根據(jù)四點(diǎn)共圓的判定方法得到O、H、E、M四點(diǎn)共圓．

解答：證明：延長(zhǎng)AQ交BC于N，如圖，
∵AQ⊥BP，BD平分∠ABC，
∴△ABN為等腰三角形，
∴BQ平分AN，
∴AQ=NQ，
∵又M為AC中點(diǎn)，
∴QM∥BC，
∴∠PQM=∠PBC=

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∠ABC，
∵E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，M為AC的中點(diǎn)，
∴EM∥AB，
連結(jié)PE，
∵PC⊥BP，
∴∠BPC=90°，
∴PE為Rt△BPC斜邊上的中線，
∴EB=EP=EC，
∴∠EBP=∠EPB，
而∠EBP=∠ABP，
∴∠ABP=∠EBP，
∴PE∥AB，
∴點(diǎn)P、M、E共線，
∴∠MPQ=∠PBC=

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∠ABC，
∴∠MPQ=∠MQP=∠PBC，
連結(jié)HE，BH，OH，OM，OP，如圖，
∵∠PHM=∠PQM，
∴∠PHM=∠PBC，
∴P、H、B、C四點(diǎn)共圓，
∴∠BHC=∠BPC=90°，
∴EH為Rt△BHC斜邊上的中線，
∴EH=EC=BE，
∴EH=EP，
∴∠EHP=∠EPH，
∵OH=OP，
∴∠OHP=∠OPH，
∴∠EHO=∠EPO，
∵∠OPM=∠OMP，
∴∠EHO=∠OMP，
O、H、E、M四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的連線的夾角相等，那么這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓；若四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于內(nèi)對(duì)角，那么這四點(diǎn)共圓；也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及圓周角定理．