Question

如圖1，兩條射線AP、AQ交于點A，B點在AP上，C點在AQ上，連接CB并延長．
（1）作∠ACB和∠ABD的平分線交于點M，探索∠M與∠A的關(guān)系；
（2）如圖2，作∠PBC和∠BCQ的平分線交于點N，問當(dāng)B點和C點在AP和AQ上運動的時候，∠M+∠N的度數(shù)和會如何變化？并給出理由．
（3）當(dāng)∠A的大小在大于0°小于90°間變化時，∠M+∠N的度數(shù)變化嗎？如果變化請寫出∠M+∠N的變化范圍．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，∠ABD=∠A+∠ACB，
又∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠1=∠A+2∠3，
又在△BCM中，∠1=∠M+∠3，
∴∠A=2∠M；

（2）∵∠PBC=∠A+∠ACB，
∠BCQ=∠A+∠ABC，
∴∠PBC+∠PCQ=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，
又∵BN、CN是∠PBC和∠BCQ的角平分線，即∠NBC=∠PBC，∠BCN=∠BCQ，
∴∠NBC+∠BCN=（180°+∠A）=90°-∠A，
∴∠N=180°-（∠NBC+∠BCN）=90°+∠A，
∴∠M+∠N=∠A-（90°+∠A）=90°．
故∠M+∠N的度數(shù)不變；

（3）根據(jù)（2）可以得到∠M+∠N=90°，故∠M+∠N的度數(shù)不變．
分析：（1）根據(jù)在△ABC中，∠ABD=∠A+∠ACB，以及在△BCM中，∠1=∠M+∠3，即可求解；
（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可以得到∠PBC+∠PCQ=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，即可利用∠A表示出∠M，結(jié)合（1）的結(jié)果即可確定；
（3）與（2）的解法完全相同，直接利用（2）的結(jié)果即可說明．
點評：本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，正確證明∠A=2∠M，∠N=90°+∠A是關(guān)鍵．