Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△AOB為等邊三角形，點A的坐標是（4

3

，0），點B在第一象限，AC是∠OAB的平分線，并且與y軸交于點E，點M為直線AC上一個動點，把△AOM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使邊AO與邊AB重合，得到△ABD．
（1）求直線OB的解析式；
（2）當點M與點E重合時，求此時點D的坐標；
（3）設點M的縱坐標為m，求△OMD的面積S關(guān)于m的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點A的坐標及△AOB為等邊三角形求出點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線OB的解析式；
（2）過點D作DA⊥x軸，則點D的橫坐標與點A的橫坐標相同，縱坐標等于AE的長度，在Rt△AOE中，∠OAE=30°，利用30°角的余弦即可求解；
（3）根據(jù)點A的坐標求出等邊三角形的高是4，過點M作MN垂直x軸于點N，然后分①m＞4時，②2＜m＜4時，③0＜x＜2時，④m＜0時點M的不同位置，根據(jù)△OMD的面積S，梯形ADMN的面積，△MNO的面積，△AOD的面積之間的關(guān)系列式分別求解．

解答：解：（1）點A的坐標是（4

3

，0），
4

3

÷2=2

3

，4

3

sin60°=6，
∴點B的坐標是B（2

3

，6），
設直線OB的解析式是y=kx，
則2

3

k=6，
解得k=

3

，
∴直線OB的解析式是y=

3

x；

（2）如圖1，由題意DA⊥x軸，∠EAO=∠BAD=30°．
∴點D的橫坐標為4

3

；                …（3分）
此時DA=AE=

OA

cos30°

=

4 3

3 2

=8，
∴點D的坐標是（4

3

，8）．…（4分）


（3）過M作MN⊥x軸，則MN=|m|，∠MAN=30°，
當m＞4時，AN=MNcot30°=

3

m，DA=AM=m÷sin30°=2m，
①如圖2，S=S_梯形ADMN-S_△OMN-S_△AOD，
=

1

2

（m+2m）•

3

m-

1

2

（

3

m-4

3

）•m-

1

2

×4

3

×2m，
=

3

m²-2

3

m；…（5分）
②如圖3，當2＜m≤4時，S=S_梯形ADMN+S_△OMN-S_△AOD，
=

1

2

（m+2m）•

3

m+

1

2

（4

3

-

3

m）•m-

1

2

×4

3

×2m，
=

3

m²-2

3

m； …（6分）
③如圖4，當0≤m≤2時，S=S_△AOD-S_△OMN-S_梯形ADMN，
=

1

2

×4

3

×2m-

1

2

（4

3

-

3

m）•m-

1

2

（m+2m）•

3

m，
=-

3

m²+2

3

m；             …（7分）
④如圖5，當m＜0時，S=S_梯形ADMN+S_△AOD-S_△OMN，
=

1

2

（m+2m）•

3

m+

1

2

×4

3

×2m-

1

2

（

3

m+4

3

）•m，
=

3

m²+2

3

m；        …（8分）
∴S=

3  m2-2 3m ，(m＞2)  - 3 m2+2 3 m，(0≤m≤2)   3 m2+2 3 m，(m＜0)

．
（四種情況討論正確一種給1分）

點評：本題是對一次函數(shù)的綜合考查，包括待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等邊三角形的每一個角都是60°，三邊都相等，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，（3）中要注意分情況討論，比較麻煩，計算時一定要細心．