Question

（2009•鹽城模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙O交x軸于A、B兩點，直線FA⊥x軸于點A，點D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，連DM并延長交x軸于點C．
（1）判斷直線DC與⊙O的位置關系，并給出證明；
（2）設點D的坐標為（-2，4），①求MC的長；②若動點P從點A出發(fā)向點D勻速運動，速度是每秒1個單位長；同時點Q從點D出發(fā)向點C勻速運動，速度是每秒2個單位長；其中一個點到達終點時運動即結束．連接PQ交OD于點H，當△PDH為直角三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）連OM，根據(jù)全等三角形的判定方法得到△DAO≌△DMO，根據(jù)全等三角形的性質可得到OM⊥DC，根據(jù)切線的判定定理就可以判定DC切⊙O于M；
（2）①根據(jù)已知條件容易證明△OMC∽△DAC，根據(jù)相似比即可求得MC的長；
②分兩種情況：當∠PHD=90°時；當∠DPH=90°時；
解答：證明：（1）如圖，連OM．
∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△DAO與△DMO中，
，
∴△DAO≌△DMO．
∴∠OMD=∠OAD．
∵FA⊥x軸于點A，
∴∠OAD=90°．
∴∠OMD=90°．
即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．（4分）

解：（2）
①∵D（-2，4），
∴OA=2（即⊙O的半徑），AD=4．
由（1）知DM=AD=4，
∵△OMC∽△DAC，
∴===．
∴AC=2MC．
在Rt△ACD中，CD=MC+4，
∵（2MC）²+4²=（MC+4）²
∴MC=或MC=0（不合，舍去），
∴MC的長為．（8分）

②由①知CD=．
當∠PHD=90°時，由切線長性質定理知DO平分∠PDQ，
∴PD=QD．
∴4-t=2t，（符合題意）．
∴P（-2，）．（10分）
當∠DPH=90°時，PQ∥AC，
∴△DPQ∽△DAC．
∴．
即，（符合題意）．
∴P（-2，）．（12分）
點評：此題把全等三角形，相似三角形，平行線等知識和圓結合起來，綜合性比較強，要求學生有較高的分析問題、解決問題的能力．