將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),C在x軸上,OA=6,OC=10.

(1)如圖(1),在OA上取一點(diǎn)E,將△EOC沿EC折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn),求E點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖(2),在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E′、F,將△E′OF沿E′F折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上D′點(diǎn),過(guò)D′作D′G∥AO交E′F于T點(diǎn),交OC于G點(diǎn),求證:TG=AE′;
(3)在(2)的條件下,設(shè)T(x,y).①探求:y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.②指出變量x的取值范圍.
【答案】分析:(1)先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DC=OC=10,在Rt△BCD中,運(yùn)用矩形的性質(zhì)及勾股定理得出BD=8,然后在Rt△AED中,由勾股定理得OE2=22+(6-OE)2,解方程求出OE的長(zhǎng),進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)先由折疊的性質(zhì)得出∠D′E′F=∠OE′F,由平行線的性質(zhì)得出∠OE′F=∠D′TE′,則∠D′E′F=∠D′TE′,根據(jù)等角對(duì)等邊得到D′T=D′E′=OE′,則TG=AE′;
(3)①由T(x,y),得出AD′=x,TG=AE′=y,D′T=D′E′=OE′=6-y,在Rt△AD′E′中,根據(jù)勾股定理得出AD′2+AE′2=D′E′2,即x2+y2=(6-y)2,整理可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
②在(1)中給出的情況就是x的最小值的狀況,可根據(jù)AD的長(zhǎng)求出x的最小值,當(dāng)x取最大值時(shí),E′F平分∠OAB,即E′與A重合,四邊形AOFD′為正方形,可據(jù)此求出此時(shí)x的值,有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范圍.
解答:解:(1)如圖(1),∵將△EOC沿EC折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn),
∴DC=OC=10.
在Rt△BCD中,∵∠B=90°,BC=OA=6,DC=10,
∴BD==8.
在Rt△AED中,∵∠DAE=90°,AD=2,DE=OE,AE=6-OE,
∴DE2=AD2+AE2,即OE2=22+(6-OE)2,
解得 OE=
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,);

(2)如圖(2),∵將△E′OF沿E′F折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上D′點(diǎn),
∴∠D′E′F=∠OE′F,D′E′=OE′,
∵D′G∥AO,
∴∠OE′F=∠D′TE′,
∴∠D′E′F=∠D′TE′,
∴D′T=D′E′=OE′,
∴TG=AE′;

(3)①∵T(x,y),
∴AD′=x,TG=AE′=y,D′T=D′E′=OE′=6-y.
在Rt△AD′E′中,∵∠D′AE′=90°,
∴AD′2+AE′2=D′E′2,即x2+y2=(6-y)2
整理,得y=-x2+3;

②結(jié)合(1)可得AD′=OG=2時(shí),x最小,從而x≥2,
當(dāng)E′F恰好平分∠OAB時(shí),AD′最大即x最大,
此時(shí)G點(diǎn)與F點(diǎn)重合,四邊形AOFD′為正方形,即x最大為6,從而x≤6,
故變量x的取值范圍是2≤x≤6.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圖形的翻折變換,矩形的性質(zhì),勾股定理,平行線的性質(zhì),等腰三角形的判定,函數(shù)解析式的求法等知識(shí),綜合性較強(qiáng),難度適中,主要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,O為頂點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,OA=10,OC=8.
(1)如右上圖,在OC邊上取一點(diǎn)D,將△BCD沿BD折疊,使點(diǎn)C恰好落在OA邊上,記作點(diǎn)E.
①求點(diǎn)E的坐標(biāo)及折痕BD的長(zhǎng);
②在x軸上取兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),且MN=4.5,求使四邊形BDMN的周長(zhǎng)最短的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo);
(2)如右下圖,在OC,BC邊上分別取點(diǎn)F,G,將△GCF沿GF折疊,使點(diǎn)C恰好落在OA邊上,記作點(diǎn)H.設(shè)OH=x,四邊形OHGC的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),A(6,0),C(0,3).動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)
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秒時(shí),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).
(1)用含t的代數(shù)式表示OP,OQ;
(2)當(dāng)t=1時(shí),如圖1,將沿△OPQ沿PQ翻折,點(diǎn)O恰好落在CB邊上的點(diǎn)D處,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)連接AC,將△OPQ沿PQ翻折,得到△EPQ,如圖2.問(wèn):PQ與AC能否平行?PE與AC能否垂直?若能,求出相應(yīng)的t值;若不能,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,OA=10,精英家教網(wǎng)OC=8,如圖在OC邊上取一點(diǎn)D,將△BCD沿BD折疊,使點(diǎn)C恰好落在OA邊上,記作E點(diǎn);
(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)及折痕DB的長(zhǎng);
(2)在x軸上取兩點(diǎn)M、N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),且MN=4.5,求使四邊形BDMN的周長(zhǎng)最短的點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo).

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將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),C在x軸上,OA=6,OC=10.精英家教網(wǎng)
(1)如圖(1),在OA上取一點(diǎn)E,將△EOC沿EC折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn),求E點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖(2),在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E′、F,將△E′OF沿E′F折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上的D′點(diǎn),過(guò)D′作D′G⊥C′O交E′F于T點(diǎn),交OC′于G點(diǎn),求證:TG=A′E′.
(3)在(2)的條件下,設(shè)T(x,y)①探求:y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.②指出變量x的取值范圍.
(4)如圖(3),如果將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A″B″C″,使O C″=10,O C″邊上的高等于6,其它條件均不變,探求:這時(shí)T(x,y)的坐標(biāo)y與x之間是否仍然滿足(3)中所得的函數(shù)關(guān)系,若滿足,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不滿足,寫出你認(rèn)為正確的函數(shù)關(guān)系式.

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(2013•大港區(qū)一模)將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),C在x軸上,OA=6,OC=10.

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(2)如圖(2),在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E′、F,將△E′OF沿E′F折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上D′點(diǎn),過(guò)D′作D′G∥AO交E′F于T點(diǎn),交OC于G點(diǎn),求證:TG=AE′;
(3)在(2)的條件下,設(shè)T(x,y).①探求:y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.②指出變量x的取值范圍.

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