Question

已知拋物線y=mx²+（3-m）x+m²+m交x軸于C（x₁，0），D（x₂，0）兩點(diǎn)，（x₁＜x₂）且x₁x₂+x₁+x₂=4，M為頂點(diǎn)．
（1）試確定m的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b）是拋物線上點(diǎn)C到點(diǎn)M之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含C、M點(diǎn)），△POQ是以PO為腰、底邊OQ在x軸上的等腰三角形，過點(diǎn)Q作x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)R，其中A（-1，-5），連接PR．設(shè)△PQR的面積為S，求S與a之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）用m表示出二次函數(shù)兩個(gè)根的和、積，代入等式x₁x₂+x₁+x₂=4，并結(jié)合△=（3-m）²-4m（m²+m）＞0，解出即可；
（2）由拋物線的解析式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用A，M坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出直線的解析式，點(diǎn)P（a，b），根據(jù)題意得，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，0），由直線的解析式得，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2a，6a-2），過點(diǎn)P作PN⊥RQ于點(diǎn)N，則RQ=|6a-2|，PN=|a|，所以，S=RQ•PN=|6a-2||a|，分類討論解答出即可．
解答：解：（1）因?yàn)閽佄锞�y=mx²+（3-m）x+m²+m交x軸于C（x₁，0），D（x₂，0）兩點(diǎn)（x₁＜x₂）且x₁x₂+x₁+x₂=4，
∴m≠0
∵x₁+x₂=，x₁x₂=，且△=（3-m）²-4m（m²+m）＞0，
又∵x₁x₂+x₁+x₂=4，
∴+=4，
解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合題意，故舍去，
∴m=-1；

（2）由（1）知拋物線的解析式為y=-x²+4x，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4），如圖，
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，
∵A（-1，-5），
則有，
解得，
∴y=3x-2，
依題意，點(diǎn)P（a，b）是拋物線上點(diǎn)C到點(diǎn)M之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴0＜a≤2，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，0），
由（2）知直線AM為y=3x-2，
∴當(dāng)x=2a時(shí)，y=6a-2，
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2a，6a-2），
過點(diǎn)P作PN⊥RQ于點(diǎn)N，
∵RQ=|6a-2|，PN=|a|，
∴S=RQ•PN=|6a-2|•|a|，
當(dāng)0＜a＜時(shí)，S=（2-6a）•a=-3a²+a，
當(dāng)a=時(shí)，△PQR不存在；
當(dāng)＜a≤2時(shí)，S=（6a-2）•a=3a²-a．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式、解析式和三角形的面積求法等；在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意、分情況討論結(jié)果．