Question

（10分）如圖在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且∠A＋∠CDB＝90°，過點(diǎn)A、D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點(diǎn)E．

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）見解析 （2）直徑為5．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據(jù)△AOD為等腰三角形可得∠A=∠ODA，根據(jù)∠A+∠CDB=90°可得∠ODA+∠CDB=90°，從而得出∠BDO=90°；（2）連接OE，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得出∠ADE=90°，根據(jù)D為中點(diǎn)可得E為AB的中點(diǎn)，根據(jù)△ADE和△ACB相似可得AC：AB=4:5，然后求出BC的長度，從而得出直徑的長度．

試題解析：（1）證明：連接OD，在△AOD中，OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA，

又∵∠A＋∠CDB＝90° ∴∠ODA＋∠CDB＝90°， ∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD，

∴BD與⊙O相切．

（2）【解析】
連接DE，∵AE是⊙O的直徑， ∴∠ADE＝90°， ∴DE∥BC．

又∵D是AC的中點(diǎn)，∴AE＝BE． ∴△AED∽△ABC．

∴AC∶AB＝AD∶AE． ∵AD：AE=4:5 ∴AC∶AB＝4∶5，

令A(yù)C＝4x，AB＝5x，則BC＝3x． ∵BC＝6，∴AB＝10，

∴AE＝5，∴⊙O的直徑為5．

考點(diǎn)：切線的判定、三角形相似的應(yīng)用．