Question

試求出所有整數(shù)n，使得代數(shù)式2n²+n-29的值是某兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和．

Answer 1

解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)是x、x+1，則根據(jù)題意知2n²+n-29=x²+（x+1）²，
化簡(jiǎn)為2x²+2x+30-2n²-n=0 ①
∴x==②
因?yàn)閤是自然數(shù)，所以4n²+2n-59必為某個(gè)整數(shù)的平方（完全平方數(shù)），
因此設(shè)4n²+2n-59=k²③
∴n==④
因?yàn)閚是整數(shù)，所以4k²+237必為某個(gè)整數(shù)的平方（完全平方數(shù)），
設(shè)4k²+237=a²⑤
則有a²-4k²=237，即（a+2k）（a-2k）=237，所以有
或，
解之得或
由⑤式得4k²+237=119²或41²，
代入④式得n₁=10，n₂=-30，
∴符合條件的整數(shù)n是10或-30．
分析：先設(shè)兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)是x、x+1，然后根據(jù)題意列出方程，然后解以x為未知數(shù)的一元二次方程，然后利用多次方程有整數(shù)根的條件來(lái)解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用完全平方式的應(yīng)用．兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．