Question

【題目】已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線上，AD∥BE
（1）如圖①，當(dāng)∠A=58°，∠B=118°時(shí)，求∠C的度數(shù)；

（2）如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究∠C與∠AQB的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接寫出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在圖①中，過點(diǎn)C作CF∥AD，則CF∥BE．

∵CF∥AD∥BE，

∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°﹣∠B，

∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°﹣（∠B﹣∠A）=120°．

（2）解：在圖②中，過點(diǎn)Q作QM∥AD，則QM∥BE．

∵QM∥AD，QM∥BE，

∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．

∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，

∴∠NAD= ∠CAD，∠EBQ= ∠CBE，

∴∠AQB=∠BQM﹣∠AQM= （∠CBE﹣∠CAD）．

∵∠C=180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）=180°﹣2∠AQB，

∴2∠AQB+∠C=180°．

（3）解：∵AC∥QB，

∴∠AQB=∠CAP= ∠CAD，∠ACP=∠PBQ= ∠CBE，

∴∠ACB=180°﹣∠ACP=180°﹣ ∠CBE．

∵2∠AQB+∠ACB=180°，

∴∠CAD= ∠CBE．

又∵QP⊥PB，

∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，

∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，

∴∠ACB=180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）=120°，

∴∠DAC：∠ACB：∠CBE=60°：120°：120°=1：2：2．

【解析】（1）過點(diǎn)C作CF∥AD，依據(jù)平行公理的推論可知CF∥BE，接下來，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠ACF=∠A、∠BCF=180°-∠B，將其代入∠ACB=∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)Q作QM∥AD，依據(jù)平行公理的推論可知QM∥BE，接下來，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出∠AQB=（∠CBE-∠CAD），結(jié)合（1）的結(jié)論可得出2∠AQB+∠C=180°；
（3）由（2）的結(jié)論可得出∠CAD=∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，聯(lián)立①②可求出∠CAD、∠CBE的度數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得出∠ACB的度數(shù)，將其代入∠DAC：∠ACB：∠CBE中可求出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．