Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值（　�。�

• A、2
• B、4
• C、2

  2

• D、4

  2

Answer 1

分析：過(guò)D作AE的垂線交AE于F，交AC于D′，再過(guò)D′作D′P′⊥AD，由角平分線的性質(zhì)可得出D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值．

解答：解：作D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)D′，再過(guò)D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，AD′=AD=4，
∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′²+AP′²=AD′²，AD′²=16，
∵AP′=P′D'，
2P′D′²=AD′²，即2P′D′²=16，
∴P′D′=2

2

，即DQ+PQ的最小值為2

2

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．