Question

如圖1，已知AB是⊙O的直徑，AB垂直于弦CD，垂足為M，弦AE與CD交于F，則有結(jié)論AD²=AE·AF成立（不要求證明）。

（1）若將弦CD向下平移至與⊙O相切于B 點時，如圖2，則AE·AF是否等于AG²？如果不相等，請?zhí)角驛E·AF等于哪兩條線段的積？并給出說明；
（2）當CD繼續(xù)向下平移至與⊙O相離時，如圖3，在（1）中探求的結(jié)論是否還成立？并說明理由。

Answer 1

解：（1）AE·AF不等于AG2，應(yīng)該有結(jié)論AE·AF=AG·AH， 證明：如圖①，連接BG，EG， ∵AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線， ∴∠ABF=∠AGB=90°， ∴∠BAF+∠BFA=90°， ∴∠AGE+∠BGE=90°， ∴∠BAF+∠BFA=∠AGF+∠BGE， 而∠BAF=∠BGE， ∴∠BFA=∠AGE， 又∠FAH=∠GAE， ∴△FAH∽△GAE， ∴ ∴所以AE·AF=AG·AH；
（2）（1）中探求的結(jié)論還成立， 證明：如圖②連接EG，BG， ∵AB是⊙O的直徑，AM⊥CD，∠AMF=∠AGB=90°， ∴∠AFM+∠FAM=∠ACE+∠BGE=90°， 而∠FAM=∠BGE， ∴∠AFM=∠AGE， 又∠FAH=∠GAE， ∴△FAH∽△GAE， ∴ ∴ AE·AF=AG·AH。