已知如圖P是⊙O直徑AB延長線上的一點,割線PCD交⊙O于C、D兩點,精英家教網(wǎng)弦DF⊥AB于點H,CF交AB于點E.
(l)求證:PA•PB=PO•PE;
(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半徑為2,求弦CF的長.
分析:(1)欲證PA•PB=PO•PE,而這四條線段根本構(gòu)不成相似三角形,因此需要轉(zhuǎn)化,根據(jù)切割線定理,PD•PC=PA•PB,所以原題可轉(zhuǎn)化為證明PO•PE=PD•PC,即證△DPO∽△EPC,而這兩個三角形現(xiàn)在共用一個角P,且根據(jù)弧AD=弧AF=
1
2
弧DF,可證∠AOD=∠DCF即∠POD=∠PCE,因此得出相似,從而找出比例線段,得到等積式;
(2)由圖可知,CF=CE+EF,而由垂徑定理可知DE=EF,所以只要求出DE和CE即可,欲求CE,可通過證明△DHO∽△DEC,運用比例線段進行求解,至于DE,則根據(jù)題中給出的已知條件可說明三角形DHE為等腰直角三角形,而DH和HE則可通過勾股定理求出,從而求出CF的值.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接OD.
∵AB是⊙O的直徑,且DF⊥AB于D點H,
AD
=
AF
=
1
2
DF

∴∠AOD=∠DCF.
∴∠POD=∠PCE.
∵∠DPO=∠EPC,
∴△DPO∽△EPC.
PD
PE
=
PO
PC

即PO•PE=PD•PC.
又PD•PC=PA•PB,
∴PA•PB=PO•PE.

(2)解:由(1)知:
AB是弦DF的垂直平分線,
∴DE=EF.
∴∠DEA=∠FEA.
∵DE⊥CF,
∴∠DEA=∠FEA=45°.
∴∠FEA=∠CEP=45°.
∵∠P=15°,
∴∠AOD=60°.
在Rt△DHO中
∵∠AOD=60°,OD=2,
∴OH=1,DH=
3

∵△DHE是等腰直角三角形,
∴DE=
6

又∵∠AOD=∠DCF,∠DHO=∠DEC=90°,
∴△DHO∽△DEC.
DH
DE
=
HO
EC

3
6
=
1
EC

∴EC=
2

∴CF=CE+EF=CE+DE=
2
+
6
點評:此題考查比較全面,相似三角形的判定和判定、勾股定理、以及垂徑定理,難易程度適中.
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