Question

18．已知二次函數(shù)y=x²+2（m+l）x-m+1．以下四個(gè)結(jié)論：
①不論m取何值，圖象始終過點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，2$\frac{1}{4}$）；
②當(dāng)-3＜m＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)：
③當(dāng)x＞-m-2時(shí)，y隨x的增大而增大；
④當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)達(dá)到最高位置．
請(qǐng)你分別判斷四個(gè)結(jié)論的真假，并給出理由．

Answer 1

分析 ①把二次函數(shù)y=x²+2（m+l）x-m+1轉(zhuǎn)化成y═（x+1）²-（2x-1）m，令x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{9}{4}$，判斷出①；②令y=x²+2（m+l）x-m+1=0，求出根的判別式△在-3＜m＜0時(shí)小于0，判斷②；③求出拋物線的對(duì)稱軸，即可判斷③；④根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)式求出拋物線的頂點(diǎn)，然后根據(jù)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)判斷④．

解答 解：①二次函數(shù)y=x²+2（m+l）x-m+1=（x+1）²-（2x-1）m，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y=$\frac{9}{4}$，故可知拋物線總經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，2$\frac{1}{4}$），故①正確，
②令y=x²+2（m+l）x-m+1=0，求△=4（m+1）²+4m-4=4m²+12m，當(dāng)-3＜m＜0時(shí)，4m²+12m＜0，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，故②正確，
③拋物線開口向上，對(duì)稱軸x=-$\frac{2（m+1）}{2}$=-m-1，所以當(dāng)x＞-m-1時(shí)，y隨x的增大而增大，故③錯(cuò)誤，
④y=x²+2（m+l）x-m+1=（x+m+1）²-m²-3m，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m-1，-m²-3m），
因?yàn)轫旤c(diǎn)的縱坐標(biāo)y=-m²-3m=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，所以當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)達(dá)到最高位置．故④正確，
正確的結(jié)論有①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的圖象以及二次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度一般．