Question

Rt△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的初始位置如圖1所示，∠C=90°，AB=6，AC=3，點(diǎn)A在x軸上由原點(diǎn)O開始向右滑動，同時點(diǎn)B在y軸上也隨之向點(diǎn)O滑動，如圖2所示；當(dāng)點(diǎn)B滑動至點(diǎn)O重合時，運(yùn)動結(jié)束．在上述運(yùn)動過程中，⊙G始終以AB為直徑．

（1）試判斷在運(yùn)動過程中，原點(diǎn)O與⊙G的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），試求出y與x的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）根據(jù)對問題（1）、（2）的探究，請你求出整個過程中點(diǎn)C運(yùn)動的路徑的長．

Answer 1

分析：（1）因為OG始終是⊙G的半徑，所以原點(diǎn)O始終在⊙G上；
（2）運(yùn)動過程中，弧AC的長保持不變，弧AC所對應(yīng)的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，∠xOC=30°，y=

3 x

3

．即自變量x的取值范圍是

3 3

2

≤x≤3

3

；
（3）利用勾股定理可求得，點(diǎn)C運(yùn)動的路程s=3

4-2 3

．

解答：解：（1）原點(diǎn)O與⊙G的位置關(guān)系是：點(diǎn)O在⊙G上；
如圖3，連接OG，∵∠AOB是直角，G為AB中點(diǎn)，
∴GO=

1

2

AB=半徑，故原點(diǎn)O始終在⊙G上．

（2）∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，∴∠ABC=30°．
連接OC，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖4，
∴∠AOC=∠ABC=30°，
在Rt△ODC中，tan∠COD=

CD

OD

，即tan30°=

y

x

，
∴y與x的關(guān)系式是：y=

3

3

x．
自變量x的取值范圍是

3 3

2

≤x≤3

3

．

（3）∵由（2）中的結(jié)論可知，點(diǎn)C在與x軸夾角為30°的射線上運(yùn)動．
∴如圖5，點(diǎn)C的運(yùn)動路徑為：C₁C₂=OC₂-OC₁=6-3=3；
如圖6，點(diǎn)C的運(yùn)動路徑為：C₂C₃=OC₂-OC₃=6-3

3

；
∴總路徑為：C₁C₂+C₂C₃=3+6-3

3

=9-3

3

．

點(diǎn)評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．