Question

如圖，△ABC的內切圓分別切BC，CA、AB三邊于D、E、F，M是EF上一點，且DM⊥EF，求證：DM平分∠BMC．

Answer 1

證明：連接DF、DE，設N、K分別是DF、DE的中點，連接BN、CK，OF，OD．則：
∵△ABC的內切圓分別切BC、CA、AB三邊于D、E、F，
∴BF=BD，CD=CE，
∴BN⊥DF，CK⊥DE，∠FBN=∠FBD，
∵∠DOF=2∠E，∠DOF+∠FBD=180°，∠MDE+∠E=90°，
∴∠FBN=∠EDM，
∵DM⊥EM，
∴∠BNF=∠DME=90°，
∴Rt△BFN∽Rt△DEM，
∴==，
同理：Rt△CEK∽Rt△DFM，==，
∴BF•ME=DF•DE=CE•FM，
∴=，而∠BFM=∠CEM，
∴△BFM∽△CEM，
∴∠BMF=∠CME．
∵DM⊥EF，∴∠BMD=∠CMD．
即DM平分∠BMC．
分析：連接DF、DE，設N、K分別是DF、DE的中點，連接BN、CK．則Rt△BFN∽Rt△DEM，Rt△CEK∽Rt△DFM，從而證得=，于是△BFM∽△CEM，所以∠BMD=∠CMD．即DM平分∠BMC．
點評：本題考查了三角形的內切圓和相似三角形的判定和性質，熟練應用相似三角形的性質是解題關鍵．