Question

7．如圖，直線y=2x+1分別交于x、y軸于點A、C．P是該直線與雙曲線y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的交點，PB⊥x軸，B為垂足，設(shè)點M與點P在同一個反比例函數(shù)的圖象上，且點M在直線PB在右則，作MN⊥x軸，N為垂足，當(dāng)△MNB與△AOC相似時，點M的坐標(biāo)是（$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$，$\sqrt{7}$-1）或（3，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點A、C的坐標(biāo)，解方程組求出點P的坐標(biāo)，分△MNB∽△AOC、△MNB∽△COA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．

解答 解：對于直線y=2x+1，
當(dāng)x=0時，y=1，當(dāng)y=0時，x=-$\frac{1}{2}$，
則點A的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，0），點C的坐標(biāo)為（0，1），
∴OA=$\frac{1}{2}$，OC=1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+1}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{3}{2}}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$（舍去），
則OB=1，
設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，$\frac{3}{x}$），
當(dāng)△MNB∽△AOC時，$\frac{MN}{OA}$=$\frac{BN}{OC}$，
即$\frac{\frac{3}{x}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{x-1}{1}$，
解得，x₁=2，x₂=-2（舍去），
則點M的坐標(biāo)為（3，1）；
當(dāng)△MNB∽△COA時，$\frac{MN}{OC}$=$\frac{BN}{OA}$，
即$\frac{\frac{3}{x}}{1}$=$\frac{x-1}{\frac{1}{2}}$，
解得，x₁=$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{7}}{2}$（舍去）
則點M的坐標(biāo)為（$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$\sqrt{7}$-1），
故答案為（$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$\sqrt{7}$-1）或（3，1）．

點評 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，掌握相似三角形的性質(zhì)、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．