Question

17．如圖，等腰直角△ABC，∠BAC=90°，點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)（E與A，B兩點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)E作ED⊥CE，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC，BD與ED相交于點(diǎn)D．

（1）當(dāng)點(diǎn)E是AB邊中點(diǎn)時(shí)．如圖1，CE與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)點(diǎn)E不是AB邊中點(diǎn)時(shí)．如圖2，CE與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)，并說(shuō)明理山；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)．如圖3．CE與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：CE=DE．如圖1中，取AC的中點(diǎn)M，連接EM．只要證明△CME≌△EBD，即可解決問(wèn)題．
（2）結(jié)論：CE=DE．如圖2中，在AC上取一點(diǎn)M，使得CM=EB，只要證明△CME≌△EBD，即可解決問(wèn)題．
（3）結(jié)論：CE=DE．如圖3中，在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使得CM=BE，只要證明△CME≌△EBD，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）結(jié)論：CE=DE，理由如下，
如圖1中，取AC的中點(diǎn)M，連接EM．

∵AC=AB，∠A=∠CED=90°，
∴∠DEB+∠AEC=90°，∠MEC+∠ACE=90°，∠ABC=45°，
∴∠MCE=∠DEB，
∵AM=MC，AE=EB，
∴MC=EB，AM=AE，
∴∠AME=45°，∠CME=135°，
∵BD⊥BC，
∴∠DBC=90°，∠EBD=135°，
∴∠CME=∠EBD，
在△CME和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠DEB}\\{CM=EB}\\{∠CME=∠EBD}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△EBD，
∴CE=ED．

（2）結(jié)論：CE=DE，理由如下，
如圖2中，在AC上取一點(diǎn)M，使得CM=EB，

∵AC=AB，CM=EB，
∵AM=AE，∵∠A=90°，
∴∠AME=45°，
∴∠CME=135°=∠EBD，
在△CME和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠DEB}\\{CM=EB}\\{∠CME=∠EBD}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△EBD，
∴CE=ED．


（3）結(jié)論：CE=DE，理由如下，
如圖3中，在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使得CM=BE，

∵AC=AB，CM=EB，
∵AM=AE，∵∠A=90°，
∴∠AME=45°=∠DBE，
∵∴∠DEF+∠AEC=90°，∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠DEF，
∴∠MCE=∠BED，
在△CME和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠DEB}\\{CM=EB}\\{∠CME=∠EBD}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△EBD，
∴CE=ED．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．