Question

11．在正方形ABCD中，點E是射線BC上的點，直線AF與直線AB關于直線AE對稱，直線AF交射線CD于點F．
（1）當點E是線段BC的中點時，求證：AF=AB+CF．
（2）當∠BAE=30°時，求證：AF=2AB-2CF；
（3）當∠BAE=60°時，（2）中的結論是否還成立？若不成立，請判斷AF與AB、CF之間的數(shù)量關系，并加以證明．
 

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質得出AG=AB，BE=GE，進而用HL判斷出Rt△EGF≌Rt△ECF，代換即可得出結論；
（2）利用含30°的直角三角形的性質即可；
（3）先判斷出△AIF為等邊三角形，得出AI=FI=AF，再代換即可得出結論．

解答 證明：如圖1，
過點E作EG⊥AF與點G，連接EF．
由折疊知，△ABE≌△AGE，
∴AG=AB，BE=GE
∵BE=CE，
∴GE=CE，
∵在Rt△EGF和Rt△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=EF}\\{EG=EC}\end{array}\right.$
∴Rt△EGF≌Rt△ECF，
∴FG=FC
∵AF=AG+FG
∴AF=AB+FC，

（2）如圖2，

延長AF、BC交于點H．
由折疊知，∠BAE=∠HAE=30°，
∴∠H=30°
∴AH=2AB
同理：FH=2FC
∵AF=AH-FH
∴AF=2AB-2FC，
（3）由折疊知，∠BAE=∠HAE=60°，
∴∠DAE=∠DAF=30°，
∴△AIF為等邊三角形
∴AF=AI=FI
由（2）可得AE=2AB
IE=2IC
∵IC=FC-FI
∴IC=FC-AF
∴IE=2FC-2AF
∵AI=AE-IE
∴AF=2AB-（2FC-2AF）
=2FC-2AB，

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，折疊的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的性質，解本題的關鍵是找出線段之間的關系．