Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸下半軸交于C點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（2，-3），拋物線的最小值為-4，頂點(diǎn)是M．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）經(jīng)過C、M兩點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)N，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)直線y=-x+3與y軸的交點(diǎn)是D，在直線BD上任取一點(diǎn)E（不與B、D重合），經(jīng)過A、B、E三點(diǎn)的圓交直線BC于點(diǎn)F，試判斷△AEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（2，-3），又其最小值為-4，代入即可得出答案；
（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，只需證明點(diǎn)P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形其兩對邊AN與CP平行且相等即可；
（3）先證明OD=OB，OB=OC，可得∠EAF=90°，又AE=AF，即可判斷△AEF的形狀．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

c- b2 4 =-4 -3=4+2b+c

，
解得

b=-2 c=-3

或

b=-6 c=5

，
∵c＜0，∴

b=-2 c=-3

，
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-2x-3．

（2）存在．
在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x²-2x-3=0，∴x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）²-4，∴頂點(diǎn)M（1，-4）．
容易求得直線CM的表達(dá)式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴N（-3，0），
∴AN=2．
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2，
∴CP=2，
∴AN=CP．
∵AN∥CP，
∴四邊形ANCP為平行四邊形，此時(shí)P（2，-3）．

（3）△AEF是等腰直角三角形．
理由：在y=-x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3．
∴直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是D（0，3），B（3，0）．
∴OD=OB，∴∠OBD=45°．
又點(diǎn)C（0，-3），∴OB=OC∴∠OBC=45°．
由圖知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°．
∴∠EAF=90°，且AE=AF．
∴△AEF是等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的知識，其中涉及了平行四邊形的判定，等腰直角三角形的判定等知識，注意這些知識的綜合運(yùn)用．