Question

給出下列命題：
①對(duì)于實(shí)數(shù)u，v，定義一種運(yùn)算“*“為：u*v=uv+v．若關(guān)于x的方程x*（a*x）=-

1

4

沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a＜1；
②設(shè)直線(xiàn)kx+（k+1）y-1=0（k為正整數(shù)）與坐標(biāo)軸所構(gòu)成的直角三角形的面積為S_k，則S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₈=

1004

2009

；
③函數(shù)y=-

1

x2

+

3

x

的最大值為2；
④甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門(mén)課程中，甲選修2門(mén)，乙、丙各選修3門(mén)，則不同的選修方案共有48種．
其中真命題的個(gè)數(shù)有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①根據(jù)新定義整理出一元二次方程，然后根據(jù)判別式△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根列式得到關(guān)于a的不等式，求解不等式即可判斷；
②求出直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直角三角形的面積公式列式得到S_k的表達(dá)式，然后利用拆項(xiàng)法整理求解；
③先配方，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解；
④求出每一名同學(xué)的可能選修方法的種數(shù)，然后相乘即可得解．

解答：解：①根據(jù)新定義，x*（a*x）=x*（ax+x），
=x（ax+x）+（ax+x），
=（a+1）x²+（a+1）x，
所以，（a+1）x²+（a+1）x+

1

4

=0，
∵方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴△=（a+1）²-4（a+1）×

1

4

＜0，
即a（a+1）＜0，
解得-1＜a＜0，故本小題錯(cuò)誤；

②當(dāng)y=0時(shí)，kx-1=0，解得x=

1

k

，
當(dāng)x=0時(shí)，（k+1）y-1=0，解得y=

1

k+1

，
所以，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

k

，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

1

k+1

），
∵k為正整數(shù)，
∴S_k=

1

2

×

1

k

×

1

k+1

=

1

2

1

k(k+1)

=

1

2

（

1

k

-

1

k+1

），
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₈=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2008

-

1

2009

），
=

1

2

（1-

1

2009

），
=

1

2

×

2008

2009

，
=

1004

2009

，故本小題正確；

③∵y=-

1

x2

+

3

x

=-（

1

x2

-

3

x

+

9

4

）+

9

4

=-（

1

x

-

3

2

）²+

9

4

，
∴當(dāng)

1

x

=

3

2

，即x=

2

3

時(shí)，函數(shù)有最大值

9

4

，故本小題錯(cuò)誤；

④設(shè)4門(mén)課程分別為1，2，3，4，甲選修2門(mén)，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6種情況，
同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4種情況，
所以，不同的選修方案共有6×4×4=96種，故本小題錯(cuò)誤；
綜上所述，真命題有②共1個(gè)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的根的判別式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，排列組合，綜合性較強(qiáng)，難度較大，對(duì)同學(xué)們的能力要求比較高．