Question

如圖，已知直線y₁=x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線y2=

k

x

（x＜0）分別交于點(diǎn)C、D，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，2）．
（1）分別求出直線AB及雙曲線的解析式；
（2）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）利用圖象直接寫出：當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，y₁＞y₂；
（4）在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)M，使得以M、C、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)寫出M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線與雙曲線解析式計(jì)算即可得解；
（2）兩解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)C、D之間的部分的x的取值范圍就是y₁＞y₂的取值；
（4）根據(jù)直線的解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再求出CD的長(zhǎng)度，然后分①點(diǎn)M在x軸上時(shí)，DM=CD，②點(diǎn)M在y軸上時(shí)CM=CD，以及③CM=DM三種情況討論求解．

解答：解：（1）∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，2），
∴-1+m=2，
解得m=3，

k

-1

=2，
解得k=-2，
∴直線AB的解析式是：y₁=x+3，
雙曲線的解析式是：y₂=-

2

x

；

（2）直線與雙曲線解析式聯(lián)立得，

y=x+3 y= - 2 x

，
解得

x1=-1 y1=2

（點(diǎn)C坐標(biāo)），

x2=-2 y2=1

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-2，1）；

（3）根據(jù)圖象，當(dāng)-2＜x＜-1時(shí)，y₁＞y₂；

（4）當(dāng)y=0時(shí)，x+3=0，
解得x=-3，
當(dāng)x=0時(shí)，y₁=0+3=3，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（-3，0）、B（0，3），
∵C（-1，2），D（-2，1）；
∴CD=

[-1-(-2)]2+(2-1)2

=

2

，
①點(diǎn)M在x軸上時(shí)，DM=CD，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（a，0），
則

(-2-a)2+(1-0)2

=

2

，
解得a=-3（舍去）或a=-1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-1，0），
②點(diǎn)M在y軸上時(shí)，CM=CD，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，b），
則

(-1-0)2+(2-b)2

=

2

，
解得b=1或b=3（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，1），
③當(dāng)點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，CM=

12+22

=

5

，
DM=

22+12

=

5

，
∴CM=DM，△CDM是等腰三角形，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，0）．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-1，0）（0，1）（0，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)反比例函數(shù)的綜合考查，有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，兩點(diǎn)之間的距離公式，等腰三角形的求解，分情況討論，綜合性較強(qiáng)，難度較大，但只要仔細(xì)分析便不難求解．