(2012•奉賢區(qū)三模)已知:⊙O的半徑OA=5,弦AB=8,C是弦AB的中點(diǎn),點(diǎn)P是射線AO上一點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合),直線PC與射線BO交于點(diǎn)D.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上,求OD的長(zhǎng).
(2)若點(diǎn)P在AO的延長(zhǎng)線上,設(shè)OP=x,
ODDB
=y
,求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.
(3)連接CO,若△PCO與△PCA相似,求此時(shí)BD的長(zhǎng).
分析:(1)連接BP,根據(jù)C是AB的中點(diǎn),O是AP的中點(diǎn),判斷出點(diǎn)D是△ABP的重心,然后根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍解答即可;
(2)過(guò)點(diǎn)O作OE∥AB,交PC于點(diǎn)E,根據(jù)平行線分線段成比例定理表示出
OE
AC
、
OE
BC
,再根據(jù)點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)整理即可得解;
(3)①當(dāng)P在AO延長(zhǎng)線上時(shí),根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠PCO=∠A,然后求出∠PCO=∠ABO,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得OC⊥AB,然后求出∠AOC=∠BCD,再求出△ACO和△BDC相似,然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可;②P在AO上時(shí),根據(jù)△PCO與△PCA相似先判定出CP⊥AO,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出PO,過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AO于H,再求出OH,然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OD,再根據(jù)BD=OB+OD代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.
解答:解:(1)當(dāng)P在⊙O上時(shí),連接BP,
∵C是AB中點(diǎn),O是AP中點(diǎn),
∴點(diǎn)D為△ABP的重心,
∴OD=
1
3
OB,
∵OA=OB=5,
∴OD=
1
3
×5=
5
3
;

(2)如圖,過(guò)點(diǎn)O作OE∥AB,交PC于點(diǎn)E,
∵OE∥AB,
OE
AC
=
OP
AP
,
OE
BC
=
OD
BD
,
又∵AC=BC,
OP
AP
=
OD
BD
,
即y=
x
5+x
(x>0);

(3)①如圖1,當(dāng)P在AO延長(zhǎng)線上時(shí),
∵△PCO∽△PAC,
∴∠PCO=∠A,
∵∠A=∠ABO,
∴∠PCO=∠ABO,
∵OA=OB,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),
∴OC⊥AB,
∴∠PCO+∠BCD=90°,
又∵∠A+∠AOC=90°,
∴∠BCD=∠AOC,
∴△ACO∽△BDC,
AC
BD
=
AO
BC
,
4
BD
=
5
4

∴BD=
16
5
;
②如圖2,當(dāng)P在AO上時(shí),∵△PCO∽△PAC,
∴∠PCO=∠A,
∴∠A+∠ACP=∠PCO+∠ACP=90°,
∴CP⊥AO,
∴△ACP∽△AOC,
AC
AO
=
AP
AC

∵AB=8,C是AB的中點(diǎn),
∴AC=
1
2
×8=4,
4
5
=
AP
4
,
解得AP=
16
5

∴PO=AO-AP=5-
16
5
=
9
5
,
過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AO于H,則OH=PH-OP=AP-OP=
16
5
-
9
5
=
7
5
,
∵CP⊥AO,BH⊥AO,
∴PD∥BH,
OP
OH
=
OD
OB

9
5
7
5
=
OD
5
,
∴OD=
45
7
,
∴BD=OB+OD=5+
45
7
=
80
7

綜上所述,若△PCO與△PCA相似,此時(shí)BD的長(zhǎng)為
16
5
80
7
點(diǎn)評(píng):本題是圓的綜合題型,主要考查了三角形的重心性質(zhì),平行線分線段成比例定理,相似三角形的判定與性質(zhì),(1)需要熟記三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍,(2)作輔助線利用
OE
AC
=
OE
BC
起到中間過(guò)渡是解題的關(guān)鍵,(3)難點(diǎn)在于要分情況討論.
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