Question

（2012•溫州二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑作圓O，交AB邊于點D，過點O作OE∥AB，交BC邊于點E．
（1）試判斷ED與圓O位置關系，并給出證明；
（2）如果圓O的半徑為，求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）ED與圓O相切，證明相切只要證明∠ODE=90°即可；
（2）根據平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似可得到△COE∽△CAB，根據對應邊成比例可求得AB的長．
解答：解：（1）ED與圓O相切，證明如下：
連接OD，
∵OE∥AB，
∴∠COE=∠CAD、∠EOD=∠ODA，（2分）
∵∠OAD=∠ODA，
∴∠COE=∠DOE，
在△COE和△DOE中，

∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
∴ED是圓O的切線．（6分）

（2）在Rt△ODE中，
∵OD=，DE=2，
∴OE===．（9分）
∵OE∥AB，
∴△COE∽△CAB，
∴=，
∴AB=5．（12分）
點評：此題考查學生對相似三角形的判定及切線的判定的理解及運用能力．