Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，連接AC．
（1）求證：△AOC∽△COB．
（2）過點C作CD∥x軸交二次函數(shù)的圖象于點D，若點M在線段AB上以每秒1個單位的速度由A向B運動，同時點N在線段CD上也以每秒1個單位的速度由點D向點C運動，連接線段MN，設運動時間為t秒．（0＜t≤6）
①是否存在時刻t，使MN=AC？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
②是否存在時刻t，使MN⊥BC？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二次函數(shù)求得其根從而得到三角形相應邊的長度，證明三角形的相似；
（2）①由題意得AM=DN=t，有點A，B求得AB，MB，同理求得CD，CN，由當AM=CN，即四邊形ACNM是平行四邊形時，MN=AC，而求得t，連接BD，當MB=DN，即四邊形MNDB是平行四邊形時，得MN=BD=AC，從而求得．②若MN⊥BC，則兩線段所在的直線的斜率互為負倒數(shù)，而求得．
解答：（1）證明：令y=0，得：，
解得：x₁=2，x₂=8，
令x=0，得：y=-4，
∴A（2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴，
∴，
又∵∠AOC=∠COB，（1分）
∴△AOC∽△COB；

（2）解：①存在，t=5或3，
由題意，得：AM=DN=t，
∵A（2，0），B（8，0），
∴AB=8-2=6，
∴MB=6-t
∵CD∥x軸，點C（0，-4），
∴點D的縱坐標為-4，
∵點D在二次函數(shù)的圖象上，
∴，
∴x₁=0，x₂=10，
∴D（10，-4），
∴CD=10，CN=10-t，
Ⅰ當AM=CN，即四邊形ACNM是平行四邊形時，MN=AC，
此時，t=10-t，
∴t=5，
Ⅱ連接BD，當MB=DN，即四邊形MNDB是平行四邊形時，
可證：MN=BD=AC，
此時，6-t=t，
∴t=3，
所以，當t=5或3時，MN=AC．
②是否存在時刻t，使MN⊥BC？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由
BC所在直線的斜率：=，
由題意點M（2+t，0），N（10-t，-4），
若MN所在直線的斜率-2，
則，
解得t=3，
在其范圍故存在．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的結合，形成的三角形相似問題；以及在拋物線上出現(xiàn)移動的變量，結合起來的求解．