Question

1．操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q．（如圖（1）、（2））
探究：設A、P兩點間的距離為x．
（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察得到的結論；
（2）當點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的x的值；如果不可能，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點P作MN∥BC，分別交AB、CD于點M、N，根據(jù)矩形的性質和直角三角形的性質，可證明△QNP≌△PMB，可證明PQ=PB；
（2）△PCQ可以成為等腰三角形．當點Q在DC邊上時，利用勾股定理可得到x的方程；
當點Q在DC的延長線上時，由PQ=CQ，可得到x的方程；從而可求得滿足條件的x的值．

解答 解：（1）PB=PQ．
證明：過P作MN∥BC，分別交AB、DC于點M、N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如圖1）．
∴NP=NC=MB．
∵∠BPQ=90°，
∴∠QPN+∠BPM=90°．
而∠PBM+∠BPM=90°，
∴∠QPN=∠PBM．
又∵∠QNP=∠PMB=90°，
∴△QNP≌△PMB．∴PB=PQ．
（2）△PCQ可能成為等腰三角形．
①方法一、當點P與點A重合時，點Q與點D重合，
這時PQ=QC，△PCQ是等腰三角形．
此時x=0．
方法二、當點Q在邊DC上，
由PQ²=CQ²得：（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²=（1-$\sqrt{2}$x）²
解得x₁=0，x₂=$\sqrt{2}$（舍去）；
②解法一：當點Q在邊DC的延長線上，且CP=CQ時，△PCQ是等腰三角形（如圖2）．
此時，QN=PM=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，CP=$\sqrt{2}-x$，CN=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$CP=1-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$．
∴CQ=QN-CN=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x-（{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}）=\sqrt{2}x-1$．
此時，得x=1．
解法二：當點Q在邊DC的延長線上，且CP=CQ時，△PCQ是等腰三角形（如圖2）．
由于此時，∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠PCN=22.5°，
∴∠APB=90°-22.5°=67.5°，∠ABP=180°-（45°+67.5°）=67.5°．
∴∠APB=∠ABP．
∴AP=AB=1．
∴x=1．
故當點P在線段AC上滑動時，△PCQ可能成為等腰三角形．

點評 本題主要考查四邊形的綜合應用，涉及正方形的性質、全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質和勾股定理等知識．在（2）中利用分類討論思想分別得到關于x的方程是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，有一定的難度．