Question

1．操作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q．（如圖（1）、（2））
探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N，根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，可證明△QNP≌△PMB，可證明PQ=PB；
（2）△PCQ可以成為等腰三角形．當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，利用勾股定理可得到x的方程；
當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，由PQ=CQ，可得到x的方程；從而可求得滿足條件的x的值．

解答 解：（1）PB=PQ．
證明：過(guò)P作MN∥BC，分別交AB、DC于點(diǎn)M、N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如圖1）．
∴NP=NC=MB．
∵∠BPQ=90°，
∴∠QPN+∠BPM=90°．
而∠PBM+∠BPM=90°，
∴∠QPN=∠PBM．
又∵∠QNP=∠PMB=90°，
∴△QNP≌△PMB．∴PB=PQ．
（2）△PCQ可能成為等腰三角形．
①方法一、當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，
這時(shí)PQ=QC，△PCQ是等腰三角形．
此時(shí)x=0．
方法二、當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC上，
由PQ²=CQ²得：（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²=（1-$\sqrt{2}$x）²
解得x₁=0，x₂=$\sqrt{2}$（舍去）；
②解法一：當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上，且CP=CQ時(shí)，△PCQ是等腰三角形（如圖2）．
此時(shí)，QN=PM=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，CP=$\sqrt{2}-x$，CN=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$CP=1-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$．
∴CQ=QN-CN=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x-（{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}）=\sqrt{2}x-1$．
此時(shí)，得x=1．
解法二：當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上，且CP=CQ時(shí)，△PCQ是等腰三角形（如圖2）．
由于此時(shí)，∠CPQ=$\frac{1}{2}$∠PCN=22.5°，
∴∠APB=90°-22.5°=67.5°，∠ABP=180°-（45°+67.5°）=67.5°．
∴∠APB=∠ABP．
∴AP=AB=1．
∴x=1．
故當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ可能成為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)．在（2）中利用分類討論思想分別得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．