Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；

（2）連接CB，點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是y軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn)，連接PC，PE，當(dāng)△PCE的面積最大時，求KM+PM的最小值；

（3）點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn)，將拋物線y=x2﹣2x﹣3沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F，在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AE的解析式為y=x+1；（2）當(dāng)△PCE的面積最大時，KM+PM的最小值為；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，-4-）或（3，-4+）或（3，6）或（3，）．

【解析】

（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AE的解析式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C、E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線CE的解析式，過點(diǎn)P作PP′∥y軸，交直線CE于點(diǎn)P′，作點(diǎn)K關(guān)于y軸對稱點(diǎn)K′，連接PK′交y軸于點(diǎn)M，此時PM+KM取最小值PK′，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x，2x﹣3），PP′=﹣x2+4x，根據(jù)三角形面積公式可得出S△PCE=﹣2x2+8x，配方后可得出：當(dāng)x=2時，△PCE的面積取最大值，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣3），由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)K、K′的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出當(dāng)△PCE的面積最大時KM+PM的最小值；

（3）根據(jù)平移的性質(zhì)結(jié)合平移后的拋物線過點(diǎn)D可求出平移后拋物線的解析式，進(jìn)而可求出其頂點(diǎn)F的坐標(biāo)，由點(diǎn)C、E的坐標(biāo)可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，a），則GF==，FQ=|a+4|，GQ==，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分GF=FQ、GF=GQ、FQ=GQ三種情況求出a的值，此題得解．

（1）當(dāng)y=0時，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．

當(dāng)x=4時，y=x2﹣2x﹣3=5，∴E（4，5）．

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（﹣1，0）、E（4，5）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直線AE的解析式為y=x+1．

（2）當(dāng)x=0時，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴C（0，﹣3），設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣3（m≠0），將點(diǎn)E（4，5）代入y=mx﹣3中，得：

4m﹣3=5，解得：m=2，∴直線CE的解析式為y=2x﹣3．

在圖2中，過點(diǎn)P作PP′∥y軸，交直線CE于點(diǎn)P′，作點(diǎn)K關(guān)于y軸對稱點(diǎn)K′，連接PK′交y軸于點(diǎn)M，此時PM+KM取最小值PK′．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x，2x﹣3），PP′=﹣x2+4x，∴S△PCE=PP′（xE﹣xC）=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，∴當(dāng)x=2時，△PCE的面積取最大值，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣3）．

∵B（3，0），C（0，﹣3），K是線段CB的中點(diǎn)，∴K（，﹣），K′（﹣，﹣），∴PK′==，∴當(dāng)△PCE的面積最大時，KM+PM的最小值為．

（3）設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=（x﹣t）2﹣2（x﹣t）﹣3（t＞0）．

∵平移后的拋物線過點(diǎn)D（1，0），∴（1﹣t）2﹣2（1﹣t）﹣3=0，解得：t1=2，t2=﹣2（舍去），∴平移后拋物線的解析式為y=（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，∴F（3，﹣4）．

∵C（0，﹣3），E（4，5），點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn)，∴G（2，1）．

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，a），則GF==，FQ=|a+4|，GQ==．

∵△FGQ為等腰三角形，∴分三種情況．

①當(dāng)GF=FQ時，有=|a+4|，解得：a1=﹣4，a2=﹣﹣4，∴點(diǎn)Q（3，﹣4）或（3，﹣﹣4）；

②當(dāng)GF=GQ時，有=，解得：a3=6，a4=﹣4（舍去），∴點(diǎn)Q（3，6）；

③當(dāng)FQ=GQ時，有|a+4|=，解得：a=﹣，∴點(diǎn)Q（3，﹣）．

綜上所述：在新拋物線y′的對稱軸上，存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，）或（3，）或（3，6）或（3，）．