Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，在反比例函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象G上，連接AO并延長(zhǎng)與圖象G的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C，過點(diǎn)A的直線l與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE∥x軸交直線l于點(diǎn)E．

（1）求m的值及直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）求證：∠BAE=∠ACB．

Answer 1

（1），；（2）；（3）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）∵ 點(diǎn)A在反比例函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象G上，可得到m的值．設(shè)直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（k，b為常數(shù)，k≠0）．由 直線l經(jīng)過點(diǎn)，，可求得直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）由反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，由 CE∥x軸交直線l于點(diǎn)E，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為；

（3）如圖，作AF⊥CE于點(diǎn)F，與過點(diǎn)B的y軸的垂線交于點(diǎn)G，BG交AE于點(diǎn)M，作CH⊥BG 于點(diǎn)H，則BH∥CE，∠BCE=∠CBH，先求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，得到 CF=EF，AC=AE，故有∠ACE =∠AEC．由于點(diǎn)在圖象G上，故可得B、G、H的坐標(biāo)．在Rt△ABG中，求出tan∠ABH，在Rt△BCH中，求出tan∠CBH，可以得到∠ABH=∠CBH，∠BCE=∠ABH，從而有∠BAE=∠ACB．

試題解析：【解析】
（1）∵ 點(diǎn)在反比例函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象G上，∴ ．

∴ 反比例函數(shù)（m為常數(shù)）對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是．

設(shè)直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（k，b為常數(shù)，k≠0）．∵ 直線l經(jīng)過點(diǎn)，，∴ ，解得，∴ 直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）由反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵ CE∥x軸交直線l于點(diǎn)E，∴ ，∴ 點(diǎn)E的坐標(biāo)為；

（3）如圖，作AF⊥CE于點(diǎn)F，與過點(diǎn)B的y軸的垂線交于點(diǎn)G，BG交AE于點(diǎn)M，作CH⊥BG 于點(diǎn)H，則BH∥CE，∠BCE=∠CBH，

∵ ，，，∴ 點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴ CF=EF，∴ AC=AE，∴ ∠ACE =∠AEC．∵ 點(diǎn)在圖象G上，∴ ，∴ ，，．在Rt△ABG中，tan∠ABH=，在Rt△BCH中，tan∠CBH=，∴∠ABH=∠CBH，∴∠BCE=∠ABH，∵∠BAE=∠AMH－∠ABH=∠AEC－∠ABH，∠ACB=∠ACE－∠BCE，∴∠BAE=∠ACB．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．