Question

【題目】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到ED，ED交直線AB于點(diǎn)O，連接BE．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1，α＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，猜想：

①AF與BE的數(shù)量關(guān)系是　 　；

②∠ABE＝　 度．

（2）拓展探究：

如圖2，0°＜α＜90°，點(diǎn)D在邊BC上，請(qǐng)判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠ABE的度數(shù)，并給予證明．

（3）解決問題

如圖3，90°＜α＜180°，點(diǎn)D在射線BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由見解析；（3）BE的長(zhǎng)為2或4．

【解析】

（1）①由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得：∠ABC＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠FDB＝∠C＝90°，進(jìn)而可得由等角對(duì)等邊可得DF＝DB，由旋轉(zhuǎn)可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，繼而可知△ADF≌△EDB，繼而即可知AF＝BE；

②由全等三角形的性質(zhì)可知∠DAF＝∠E，繼而由三角形內(nèi)角和定理即可求解；

（2）由平行線的性質(zhì)可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等邊對(duì)等角可得∠ABC＝∠CAB，進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊可得DB＝DF，再根據(jù)全等三角形的判定方法證得△ADF≌△EDB，進(jìn)而可得求證AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；

（3）分兩種情況考慮：①如圖（3）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，②如圖（4）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，由平行線分線段成比例定理可得、，代入數(shù)據(jù)求解即可；

（1）問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1中，設(shè)AB交DE于O．

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝45°，

∵DF∥AC，

∴∠FDB＝∠C＝90°，

∴∠DFB＝∠DBF＝45°，

∴DF＝DB，

∵∠ADE＝∠FDB＝90°，

∴∠ADF＝∠EDB，

∵DA＝DE，DF＝DB

∴△ADF≌△EDB（SAS），

∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，

∵∠AOD＝∠EOB，

∴∠ABE＝∠ADO＝90°

故答案為：①AF＝BE，②90°．

（2）拓展探究：

結(jié)論：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：

∵DF‖AC

∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，

∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB，

∴∠ABC＝∠DFB，

∴DB＝DF，

∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，

∴∠ADF＝∠EDB，

∵AD＝DE，DB＝DF

∴△ADF≌△EDB（SAS），

∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD

∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，

∴∠ABE＝∠FDB＝α．

（3）解決問題

①如圖（3）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，

由（2）可知：BE＝AF，

∵DF∥AC，

∴，

∵AB＝8，

∴AF＝2，

∴BE＝AF＝2，

②如圖（4）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵AC∥DF，

∴，

∵AB＝8，

∴BE＝AF＝4，

故BE的長(zhǎng)為2或4．