Question

如圖，對(duì)稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．

（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上試探索：
①當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
②是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸是x=，
設(shè)解析式為y=a（x﹣）²+k．
把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得，
解得a=，k=﹣．
故拋物線解析式為y=（x﹣）²﹣，頂點(diǎn)為（，﹣）；
（2）∵點(diǎn)E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y=（x﹣）²=，
∴y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示點(diǎn)E到OA的距離．
∵OA是OEAF的對(duì)角線，
∴S=2S_△OAE=2××OA·|y|=﹣6y=﹣4（x﹣）²+25．
∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（1，0）和（6，0），
∴自變量x的取值范圍是1＜x＜6；
（3）①根據(jù)題意，當(dāng)S=24時(shí)，即﹣4（x﹣）²+25=24．
化簡(jiǎn)，得（x﹣）²=．
解得x₁=3，x₂=4．
故所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，
分別為E₁（3，﹣4），E₂（4，﹣4），
點(diǎn)E₁（3，﹣4）滿足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF是菱形；
點(diǎn)E₂（4，﹣4）不滿足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF不是菱形；
②當(dāng)OA⊥EF，且OA=EF時(shí)，
平行四邊形OEAF是正方形，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是（3，﹣3），
而坐標(biāo)為（3，﹣3）的點(diǎn)不在拋物線上，
故不存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形．