Question

如圖，拋物線(xiàn)y=-（x-1）²+4的頂點(diǎn)為A，與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，直線(xiàn)y=-2x+6經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），連接OA．
（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線(xiàn)OA的解析式．
（2）直線(xiàn)y=m（0＜m＜4）分別與AO、AC交于點(diǎn)E和F，若將△AEF沿EF折疊，設(shè)折疊后的△A'EF與△AOC重疊部分的面積為S．
①用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段EF的長(zhǎng)．
②試求S與m的函數(shù)關(guān)系式．且當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值？
（3）設(shè)直線(xiàn)y=m與y軸交于點(diǎn)Q，則在拋物線(xiàn)上是否存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)Q、P、C、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線(xiàn)的解析式可得到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸解析式，而點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，而點(diǎn)C坐標(biāo)已知，則點(diǎn)B坐標(biāo)可求；
拋物線(xiàn)的解析式直接寫(xiě)成了頂點(diǎn)式，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可得，利用待定系數(shù)法即可得到直線(xiàn)OA的解析式．
（2）①直線(xiàn)OA、AC的解析式已知，令它們的函數(shù)值為m，即可得到點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，進(jìn)而能求出線(xiàn)段EF的長(zhǎng)；
②分兩種情況考慮：
1、2≤m＜4時(shí)，△A′EF在△OAC內(nèi)部，它們的重疊部分是整個(gè)△A′EF，而△A′EF是由△AEF折疊所得，所以它們的面積相等，可據(jù)此思路求解；
2、0＜m＜2時(shí)，△A′EF與△OAC的重疊部分是一個(gè)梯形，可先求出梯形的兩底長(zhǎng)，而高易知（即m），則面積可求．
（3）由于平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)順序沒(méi)有明確，所以要分兩種情況討論：
①線(xiàn)段QP是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)；由于平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，所以此種情況下，點(diǎn)Q、P關(guān)于線(xiàn)段BC的中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即點(diǎn)Q、P的橫坐標(biāo)關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，聯(lián)立拋物線(xiàn)解析式不難得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②線(xiàn)段QP是平行四邊形的邊；已知BC=4，那么將點(diǎn)Q向左或向右平移4個(gè)單位后，必為點(diǎn)P，所以此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4，代入拋物線(xiàn)解析式中即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由拋物線(xiàn)y=-（x-1）²+4知：頂點(diǎn)A（1，4），對(duì)稱(chēng)軸 x=1；
∵點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，且C（3，0），
∴B（-1，0）；
設(shè)直線(xiàn)OA的解析式為 y=kx，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，得：k=4；
則直線(xiàn)OA：y=4x．

（2）①直線(xiàn)OA：y=4x中，當(dāng)y=m時(shí)，x=；
則點(diǎn)E（，m），同理可求得F（，m）；
故EF=-=．
②當(dāng)點(diǎn)A′在x軸上時(shí)，m=2，所以分兩種情況：
1、2≤m＜4時(shí)，△A′EF在△AOC內(nèi)部，它們的重疊部分是△A′EF；
S=S_△AEF=××（4-m）=（4-m）²；
由于2≤m＜4在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，所以當(dāng)m=2，S有最大值，且：
Smax=（4-2）²=；
2、0＜m＜2時(shí)，△A′EF與△AOC的重疊部分是梯形MNFE（如右圖）；
GH=m，AH=4，則 AG=A′G=4-m，A′H=A′G-GH=4-m-m=4-2m；
在Rt△AOH中，OH=1，AH=4，∴tan∠OAH=tan∠EA′G=，同理可得：tan∠FA′G=tan∠CAH=；
∴MH=A′H×tan∠EA′G=（4-2m）×=1-，HN=A′H×tan∠FA′G=（4-2m）×=2-m，MN=MH+HN=3-；
S=S_梯形MNFE=（EF+MN）GH=×（3-+3-）×m=-m²+3m=-（m-）²+2；
則當(dāng)m=時(shí)，S有最大值，且Smax=2；
綜上，S=，且當(dāng)m=時(shí)，S有最大值，且最大值為2．

（3）由（1）知：B（-1，0）、C（3，0），則 BC=4；分兩種情況討論：
①當(dāng)QP為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)Q、P關(guān)于BC的中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（因?yàn)槠叫兴倪呅问侵行膶?duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)）；
故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線(xiàn)y=-（x-1）²+4中，得y=-（2-1）²+4=3；
則P₁（2，3）；
②當(dāng)QP為平行四邊形的邊時(shí)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4；
當(dāng)x=4時(shí)，y=-（x-1）²+4=-（4-1）²+4=-5；
當(dāng)x=-4時(shí)，y=-（x-1）²+4=-（-4-1）²+4=-21；
則P₂（4，-5）、P₃（-4，-21）；
綜上，存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為（2，3）、（4，-5）、（-4，-21）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)、圖形面積的求法以及平行四邊形的判定和性質(zhì)等綜合知識(shí)．最后一題中，平行四邊形的各頂點(diǎn)排序沒(méi)有明確，是此題容易漏解的地方，一定要注意進(jìn)行分類(lèi)討論．