Question

在平面直角坐標(biāo)系XOY中，一次函數(shù)的圖象是直線l₁，l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)．直線l₂過點(diǎn)C（a，0）且與直線l₁垂直，其中a＞0．點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，速度為每秒4個(gè)單位；點(diǎn)Q沿射線AO運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位．
（1）寫出A點(diǎn)的坐標(biāo)和AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)了多少秒時(shí)，以點(diǎn)Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l₂、y軸都相切，求此時(shí)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求法，分別求出坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及當(dāng)⊙Q在y軸右側(cè)與y軸相切時(shí)，當(dāng)⊙Q在y軸的左側(cè)與y軸相切時(shí)，分別分析得出答案．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)的圖象是直線l₁，l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，
∴y=0時(shí)，x=-4，
∴A（-4，0），AO=4，
∵圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3），BO=3，
∴AB=5；
（2）由題意得：AP=4t，AQ=5t，==t，
又∠PAQ=∠OAB，
∴△APQ∽△AOB，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∵點(diǎn)P在l₁上，
∴⊙Q在運(yùn)動(dòng)過程中保持與l₁相切，
①當(dāng)⊙Q在y軸右側(cè)與y軸相切時(shí)，設(shè)l₂與⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：
∴，
∴PQ=6；
故AQ=10，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：=2（秒）；
連接QF，則QF=PQ，
∵直線l₂過點(diǎn)C（a，0）且與直線l₁垂直，F(xiàn)Q⊥l₁，
∴∠APQ=∠QFC=90°，AP∥FQ，
∴∠PAQ=∠FQC，
∴△QFC∽△APQ，
∴△QFC∽△APQ∽△AOB，
得：，
∴，
∴，
∴QC=，
∴a=OQ+QC=OC=，
②如圖2，當(dāng)⊙Q在y軸的左側(cè)與y軸相切時(shí)，設(shè)l₂與⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=，
∴PQ=，
則AQ=4-=2.5，
∴則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：=（秒）；
故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)了2秒或秒時(shí)，以點(diǎn)Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l₂、y軸都相切，
連接QE，則QE=PQ，
∵直線l₂過點(diǎn)C（a，0）且與直線l₁垂直，⊙Q在運(yùn)動(dòng)過程中保持與l₁相切于點(diǎn)P，
∴∠AOB=90°，∠APQ=90°，
∵∠PAO=∠BAO，
∴△APQ∽△AOB，
同理可得：△QEC∽△APQ∽△AOB得：=，
∴=，=，
∴QC=，a=QC-OQ=，
∴a的值是：和，
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析注意分類討論才能得出正確答案．