Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與C、D不重合，過點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，連接PQ，M為PQ中點(diǎn)．

（1）求證：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=x，BM²=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM的最小值；
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化．當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）證明：∵∠QAP=∠BAD=90°，∴∠QAB=∠PAD。
又∵∠ABQ=∠ADP=90°，∴△ADP∽△ABQ。
（2）∵△ADP∽△ABQ，∴，即。∴QB=2x。
∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD﹣DP=20﹣x．
如圖，過點(diǎn)M作MN⊥QC于點(diǎn)N，

∵M(jìn)N⊥QC，CD⊥QC，點(diǎn)M為PQ中點(diǎn)，
∴點(diǎn)N為QC中點(diǎn)，MN為中位線，
∴，
。
在Rt△BMN中，由勾股定理得，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：（0＜x＜20）。
∵，
∴當(dāng)x=8即DP=8時(shí)，y取得最小值為45，BM的最小值為。
（3）設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)E。
如圖，點(diǎn)M落在矩形ABCD外部，須滿足的條件是BE＞MN。
∵△ADP∽△ABQ，∴，即，解得。
∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP。
∴，即，解得。
∵M(jìn)N為中位線，∴。
∵BE＞MN，∴，解得。
∴當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，a的取值范圍為：，

（1）由對(duì)應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似。
（2）如圖所示，過點(diǎn)M作MN⊥QC于點(diǎn)N，由此構(gòu)造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，這是一個(gè)二次函數(shù)，求出其最小值。
（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，須滿足的條件是“BE＞MN”．分別求出BE與MN的表達(dá)式，列不等式求解，即可求出a的取值范圍。