Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx-7的圖象交x軸于A，B兩點，交y軸于點D，點C為拋物線的頂點，且A，C兩點的橫坐標(biāo)分別為1和4D．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的函數(shù)表達式；
（3）在（2）的拋物線上，是否存在點P，使得∠BAP=45°？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象，可得A的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，可得B點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）的三個點的坐標(biāo)，將其代入方程，并求解可得解析式；

解答 解：（1）因為A，C兩點的橫坐標(biāo)分別為1，4，
所以點A（1，0）．
又因為點A，B關(guān)于對稱軸x=4對稱，所以點B（7，0）．

（2）∵A（1，0），B（7，0）在拋物線y=ax²+bx-7上
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-7=0}\\{49a+7b-7=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+8x-7；

（3）設(shè)存在P（x，y）使得∠BAP=45°
①P在x軸上方的時候，作PE⊥x軸于E，則x-1=y
即：x-1=-x²+8x-7
x=6或x=1（舍去）；
②P在x軸下方的時候，作PF⊥x軸于F，則x-1=-y
即：x-1=-x²+8x-7
x=8或x=-7（舍去）
∴存在點P（6，5）或P（8，-7）使得∠BAP=45°．

點評 此題主要考查的是用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)意義等知識，屬于基礎(chǔ)知識，難度不大．