Question

在數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件和問題，要求同學(xué)們探索并得出結(jié)論：
（1）點(diǎn)A₁，A₂，A₃是拋物線y=2x²圖象上的三點(diǎn)，若A₁，A₂，A₃三點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為1，2，3，求△A₁A₂A₃的面積；
（2）若將（1）中的拋物線改為y=2x²-4x+7，其他條件不變，那么△A₁A₂A₃的面積變不變？請求出△A₁A₂A₃的面積；
（3）若將拋物線改為y=ax²+bx+c （a＞0），其他條件不變，那么△A₁A₂A₃的面積又是多少呢？請說明理由；
（4）從中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用一句話簡單歸納．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A₁，A₂，A₃是拋物線y=2x²圖象上的三點(diǎn)，若A₁，A₂，A₃三點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為1，2，3，即可求得A₁，A₂，A₃三點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又由S_△A1A2A3=S_梯形A1BDA3-S_梯形A1BCA2-S_梯形A2CDA3，即可求得△A₁A₂A₃的面積；
（2）解法同（1），即可得其他條件不變，那么△A₁A₂A₃的面積不變，即△A₁A₂A₃的面積為2；
（3）由點(diǎn)A₁，A₂，A₃是拋物線y=ax²+bx+c （a＞0）圖象上的三點(diǎn)，若A₁，A₂，A₃三點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為1，2，3，即可求得A₁，A₂，A₃三點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又由S_△A1A2A3=S_梯形A1BDA3-S_梯形A1BCA2-S_梯形A2CDA3，即可求得△A₁A₂A₃的面積；
（4）可得規(guī)律：若點(diǎn)A₁ A₂ A₃是拋物線y=ax²+bx+c圖象上的三點(diǎn)，且A₁，A₂，A₃，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為1，2，3，則△A₁A₂A₃的面積等于二次項系數(shù)的絕對值

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)A₁  A₂  A₃是拋物線y=2x²圖象上的三點(diǎn)，
若A₁，A₂，A₃，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為1，2，3，
∴A₁，A₂，A₃三點(diǎn)的縱坐標(biāo)從左至右依次為2，8，18，
∴S_△A1A2A3=S_梯形A1BDA3-S_梯形A1BCA2-S_梯形A2CDA3=

1

2

×（2+18）×2-

1

2

×（8+18）×1-

1

2

×（2+8）×1=2；                 （4分）

（2）若將（1）中的拋物線改為y=2x²-4x+7，
其他條件不變，那么△A₁A₂A₃的面積不變，即：△A₁A₂A₃的面積為2；                                    （4分）

（3）若將拋物線改為y=ax²+bx+c （a＞0），
∵若A₁，A₂，A₃，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為1，2，3，
∴A₁，A₂，A₃三點(diǎn)的縱坐標(biāo)從左至右依次為a+b+c，4a+2b+c，9a+3b+c，
∴S_△A1A2A3=S_梯形A1BDA3-S_梯形A1BCA2-S_梯形A2CDA3=

1

2

×（a+b+c+9a+3b+c）×2-

1

2

×（a+b+c+4a+2b+c）×1-

1

2

×（4a+2b+c+9a+3b+c）×1=a；
∴△A₁A₂A₃的面積為a； （2分）

（4）從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：若點(diǎn)A₁  A₂  A₃是拋物線y=ax²+bx+c圖象上的三點(diǎn)，
且A₁，A₂，A₃，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為1，2，3，
則△A₁A₂A₃的面積等于二次項系數(shù)的絕對值．----（2分）

點(diǎn)評：此題考查了點(diǎn)與二次函數(shù)的關(guān)系以及三角形面積的求解方法．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是抓住△A₁A₂A₃的面積的求解方法，注意S_△A1A2A3=S_梯形A1BDA3-S_梯形A1BCA2-S_梯形A2CDA3，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．