Question

先閱讀下面的材料，然后解答問題：
在一條直線上有依次排列的n（n＞1）臺機床工作，我們要設置一個零件供應站P，使這n臺機床到供應站P的距離總和最小，要解決這個問題先“退”到比較簡單的情形．
如圖（1），如果直線上有2臺機床時，很明顯設在A₁和A₂之間的任何地方都行，因為甲和乙所走的距離之和等于A₁到A₂的距離．

如圖（2），如果直線上有3臺機床時，不難判斷，供應站設在中間一臺機床，A₂處最合適，因為如果P不放在A₂處，甲和丙所走的距離之和恰好是A₁到A₃的距離，可是乙還得走從A₂到P的這一段，這是多出來的，因此P放在A₂處最佳選擇．
不難知道，如果直線上有4臺機床，P應設在第二臺與第3臺之間的任何地方，有5臺機床，P應設在第3臺位置．
問題：（1）有n臺機床時，P應設在何處？
（2）根據（1）的結論，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-617|的最小值．

Answer 1

（1）當n為偶數時，P應設在第

n

2

臺和（

n

2

+1）臺之間的任何地方，
當n為奇數時，P應設在第

n+1

2

臺的位置．

（2）根據絕對值的幾何意義，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-617|的最小值
就是在數軸上找出表示x的點，使它到表示1，617各點的距離之和最小，根據問題1的結論，當x=309時，原式的值最小，最小值是308+307+…+1+1+2+…+308=95172．