Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC 的一邊 AB 在 x 軸上，∠ABC=90°，點(diǎn) C（4，8） 在第一象限內(nèi)，AC 與 y 軸交于點(diǎn) E，拋物線 y=+bx+c 經(jīng)過 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) D（0，﹣6）．

（1）請直接寫出拋物線的表達(dá)式；

（2）求 ED 的長；

（3）若點(diǎn) M 是 x 軸上一點(diǎn)（不與點(diǎn) A 重合），拋物線上是否存在點(diǎn) N，使∠CAN=∠MAN．若存在，請直接寫出點(diǎn) N 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣6；（2）；（3） S=﹣m2+m+26（﹣2＜m＜4）；（4）滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（，﹣）．

【解析】（1）先確定B（4，0），再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式為y=x2-x-6；

（2）先利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y=x+，則可確定E（0，），然后計(jì)算DE的長；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在x的正半軸，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得FH=FB，易得AH=AB=6，再利用∠ACB的余弦可求出CF=5，則F（4，3），接著求出直線AF的解析式為y=x+1，于是通過解方程組，得N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；當(dāng)點(diǎn)M′在x的負(fù)半軸上時，AN′交y軸與G，先在證明∴Rt△OAG∽Rt△BFA，在利用相似比求出OG=4，所以G（0，-4），接下來利用待定系數(shù)法求出直線AG的解析式為y=-2x-4，然后解方程組得N′的坐標(biāo)．

（1）∵BC⊥x軸，點(diǎn)C（4，8），

∴B（4，0），

把B（4，0），C（0，﹣6）代入y=+bx+c得，解得，

∴拋物線解析式為y=x﹣6；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，

把A（﹣2，0），C（4，8）代入得，解得，

∴直線AC的解析式為y=x+，

當(dāng)x=0時，y=x+=，則E（0，），

∴DE=+6=；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在x的正半軸，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，

則FH=FB，

易得AH=AB=6，

∵AC=，

∴CH=10﹣6=4，

∵cos∠ACB=，

∴CF=，

∴F（4，3），

易得直線AF的解析式為y=x+1，

解方程組得或，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

當(dāng)點(diǎn)M′在x的負(fù)半軸上時，AN′交y軸與G，

∵∠CAN′=∠M′AN′，

∴∠KAM′=∠CAK，

而∠CAN=∠MAN，

∴∠KAC+∠CAN=90°，

而∠MAN+∠AFB=90°，

∴∠KAC=∠AFB，

而∠KAM′=∠GAO，

∴∠GAO=∠AFB，

∴Rt△OAG∽Rt△BFA，

∴，即，解得OG=4，

∴G（0，﹣4），

易得直線AG的解析式為y=﹣2x﹣4，

解方程組得或，

∴N′的坐標(biāo)為（，﹣），

綜上所述，滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（，﹣）．